Bài 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

1.1 Nhắc lại định nghĩa

Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) xác định trên K. Ta nói

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên K với mỗi mọi cặp \(x_1, x_2\) thuộc K mà \(x_1\) nhỏ hơn \(x_2\)  thì \(f(x_1)\) nhỏ hơn \(f(x_2)\) tức là

 \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K với mỗi mọi cặp \(x_1, x_2\) thuộc K mà \(x_1\) nhỏ hơn \(x_2\)  thì \(f(x_1)\) lớn hơn \(f(x_2)\) tức là

 \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)

Hàm số đồng biến hoăc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K

1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên K

a, Nếu \(f'(x) >0\) với mọi \(x\) thuộc K thì hàm \(f(x)\) đồng biến trên K

 \(f'(x) >0 \Rightarrow f(x)\) đồng biến

b, Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x\) thuộc K thì hàm \(f(x)\) nghịch biến trên K

\(​​f'(x) < 0 \Rightarrow f(x)\) nghịch biến

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Quy tắc

1. Tìm tập xác định.

2. Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i (1,2,3,...,n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0  hoặc không xác định

3. Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Nêu kết luận về các khoản đồng biến, nghịch biến của hàm số.