Phương trình mặt phẳng - Hình học toán lớp 12
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa
Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ →n khác →0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vec tơ pháp tuyến của (α).
Vectơ →n gọi là tích vô hướng của hai vectơ →a và →b, kí hiệu là →n=[→a,→b]
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Định nghĩa
Phương trình có dạng Ax+By+Cz+D=0(1), trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét
Nếu cả bốn hệ A,B,C,D số đều khác 0 thì bằng cách đặt a=−DA,b=−DB,c=−DC, ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau đây: xa+yb+zc=1
Khi đó mặt phẳng (α) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ là (a;0;0),(0;b;0),(0;0;c). Người ta gọi phương trình trên là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
3.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
+) (α1//α2)⇔{→n1=k→n2D1≠kD2⇔{(A1;B1;C1)=k(A2;B2;C2)D1≠kD2
+) (α1≡α2)⇔{→n1=k→n2D1=kD2⇔{(A1;B1;C1)=k(A2;B2;C2)D1=kD2
3.2. Điều kiện để hai mặt vuông góc
(α1⊥α2)⇔→n1.→n2=0⇔A1A2+B1B2+C1C2=0
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định lí
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0;y0;z0). Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α), kí hiệu là d(M0,(α)) được tính theo công thức
d(M0,(α))=∣Ax0+By0+Cz0+D∣√A2+B2+C2