Phương trình đường thẳng trong không gian - Hình học toán lớp 12

1. Phương trình tham số của đường thẳng

Định lí

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\triangle$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm $M(x;y;z)$ nằm trên $\triangle$ là có một số thực $t$ sao cho

                                                 $\begin{cases}x=x_0+ta_1\\ y=y_0+ta_2\\z=z_0+ta_3 \end{cases}$

Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng $\triangle$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ là phương trình có dạng

                                                    $\begin{cases}x=x_0+ta_1\\ y=y_0+ta_2\\z=z_0+ta_3 \end{cases}$

trong đó $t$ là tham số

2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

2.1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

$d$ song song với $d'$ kh và chỉ khi $\begin{cases}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'}\\ M không thuộc d' \end{cases}$

$d$ trùng với $d'$ khi và chỉ khi $\begin{cases}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'}\\ M \in d' \end{cases}$

2.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

$d$ và $d'$ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn $t,t'$ sau

                                $\begin{cases}x_0+ta_1=x'_0+t'a'_1\\ y_0+ta_2=y'_0+t'a'_2\\z_0+ta_3=z'_0+t'a'_3 \end{cases}$

có đúng một nghiệm.

2.3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

$d$ và $d'$ chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a'}$ không cùng phương và hệ phương trình

                             $\begin{cases}x_0+ta_1=x'_0+t'a'_1\\ y_0+ta_2=y'_0+t'a'_2\\z_0+ta_3=z'_0+t'a'_3 \end{cases}$

vô nghiệm.