Phương trình bậc hai với hệ số thực - Giải tích toán lớp 12

1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức $i^2=-1$, ta nói $i$ là một căn bậc hai của -1, $-i$ là một căn bậc hai của -1, vì $(-i)^2=-1$. Từ đó ta xác định được căn bậc hai của số thực âm $a$ là 

                                                              $\pm i \sqrt{\mid a\mid }$

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai $ax^2+bc+c=0$ với $a,b,c \in R, a\neq0$. Xét biệt số $\triangle= b^2-4ac$ của phương trình. Ta thấy

+) Khi $\triangle=0$, phương trình có một nghiệm thực $x=-\frac{b}{2a}$

+) Khi $\triangle>0$, có hai căn bậc hai của $\triangle$ là $\pm \sqrt{\triangle}$ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt được xác định bởi công thức

                                                            $x_{1,2}=\frac{{-b\pm \sqrt{\triangle}}}{2a}$

+) Khi $\triangle<0$, Phương trình không có nghiệm thực.

     Nếu xét trong tập hợp số phức, phương trình có hai nghiệm thức được xác định bởi công thức

                                                           $x_{1,2}=\frac{{-b\pm i\sqrt{\triangle}}}{2a}$

Nhận xét 

+) Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

+) Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc $n(n\geq1)$

                                      $a_0x^x+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n=0$

                   trong đó $a_0, a_1,...,a_n\in C, a\neq0$ đều có $n$ nghiệm phức.

         Đó là định lí cơ bản của Đại số học.