Phương trình bậc hai với hệ số thực - Giải tích toán lớp 12
1. Căn bậc hai của số thực âm
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức \(i^2=-1\), ta nói \(i\) là một căn bậc hai của -1, \(-i\) là một căn bậc hai của -1, vì \((-i)^2=-1\). Từ đó ta xác định được căn bậc hai của số thực âm \(a\) là
\(\pm i \sqrt{\mid a\mid }\)
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai \(ax^2+bc+c=0\) với \(a,b,c \in R, a\neq0\). Xét biệt số \(\triangle= b^2-4ac\) của phương trình. Ta thấy
+) Khi \(\triangle=0\), phương trình có một nghiệm thực \(x=-\frac{b}{2a}\)
+) Khi \(\triangle>0\), có hai căn bậc hai của \(\triangle\) là \(\pm \sqrt{\triangle}\) và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt được xác định bởi công thức
\(x_{1,2}=\frac{{-b\pm \sqrt{\triangle}}}{2a}\)
+) Khi \(\triangle<0\), Phương trình không có nghiệm thực.
Nếu xét trong tập hợp số phức, phương trình có hai nghiệm thức được xác định bởi công thức
\(x_{1,2}=\frac{{-b\pm i\sqrt{\triangle}}}{2a}\)
Nhận xét
+) Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
+) Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc \(n(n\geq1)\)
\(a_0x^x+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n=0\)
trong đó \(a_0, a_1,...,a_n\in C, a\neq0\) đều có \(n\) nghiệm phức.
Đó là định lí cơ bản của Đại số học.