Nguyên hàm - Giải tích toán lớp 12

1. Nguyên hàm và tính chất

1.1. Nguyên hàm

Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K$.

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$.

Định lí 1

     Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G(x)=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$.

Định lí 2

     Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x)+C$, với C là một hằng số.

Kết luận

     Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì $F(x)+C$, $C\in R$ là họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$.

Kí hiệu

     $\int f(x)dx= F(x)+C$

Chú ý

     Biểu thức $f(x)dx$ chính là vi phân của nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$.

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

                    $\int f'(x)dx= f(x)+C$

Tính chất 2

                    $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

Tính chất 3

                   $\int [f(x)\pm g(x)]dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

1.3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí 3 

     Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

1.4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

$\int 0dx=C$

$\int dx=x+C$

$\int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C ( \alpha\neq-1)$

$\int \frac{1}{x}dx= ln\mid x\mid +C$

$\int e^x dx= e^x+C$

$\int a^x dx=\frac{a^x}{ln a}+C(a>0,a\neq1)$

$\int cosx dx=sinx +C$

$\int sinxdx=-cos x+C$

$\int\frac{1}{cos^2x}dx=tanx +C$

$\int\frac{1}{sin^2x}dx=-cotx +C$

2. Phương pháp tính nguyên hàm

2.1. Phương pháp đổi biến số

Định lí 1

     Nếu $\int f(u)du= F(x)+C$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C$

Hệ quả

     Với $x=ax+b$ $(a\neq0)$, ta có

                                                                $\int f(ax+b)dx= \frac{1}{a}F(ax+b)+C$

2.2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2

     Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì

                                                                                        $\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$

Chú ý

     Vì $v'(x)dx=dv$, $u'(x)dx=du$, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng $\int udv=uv-\int vdu$. Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần.