Lôgarit - Giải tích toán lớp 12
1. Khái niệm lôgarit
1.1. Định nghĩa
Cho hai số dương \(a,b \) với \(a\neq1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn đẳng thức \(a^\alpha=b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(log_ab\).
\(\alpha= log_ab\Leftrightarrow a^\alpha=b\)
Chú ý
Không có lôgarit của số âm và số 0.
1.2. Tính chất
Cho hai số dương \(a,b \) với \(a\neq1\). Ta có các tính chất sau đây
\(log_a1=0\), \(log_aa=1\)
\(a^{log_ab}=b\), \(log_a(a^\alpha)=\alpha\)
2. Quy tắc tính lôgarit
2.1. Lôgarit của một tích
Định lí 1
Cho ba số dương \(a, b_1,b_2\) với \(a\neq1\), ta có
\(log_a(b_1b_2)=log_ab_1+log_ab_2\)
Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.
Chú ý
Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của \(n\) số dương
\(log_a(b_1b_2...b_n)=log_ab_1+log_ab_2+...+log_ab_n\)
\((a,b_1, b_2,...,b_n>0, a\neq1)\)
2.2. Lôgarit của một thương
Định lí 2
Cho ba số dương \(a, b_1,b_2\) với \(a\neq1\), ta có
\(log_a\frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-loa_ab_2\)
Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.
Đặc biệt
\(log_a\frac{1}{b}=-log_ab\) \((a>0,b>0, a\neq1\)
2.3. Lôgarit của một lũy thừa
Định lí 3
Cho hai số dương \(a,b;a\neq1\). Với mọi \(\alpha\), ta có
\(log_a{b^\alpha}=\alpha log_ab\)
Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
Đặc biệt
\(log_a{\sqrt[n]{b}}=\frac{1}{n}log_ab\)
3. Đổi cơ số
Định lí 4
Cho ba số dương \(a,b,c\) với \(a\neq1,c\neq1\), ta có \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)
Đặc biệt
\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\) \((b\neq1)\)
\(log_{a^\alpha}b=\frac{1}{\alpha}log_ab\) \((\alpha \neq0)\)
4. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên
4.1. Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
\(log_{10}b\) thường được viết là \(logb\) hoặc \(lgb\).
4.2. Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\)
\(log_eb\) thường viết là \(lnb\).