Khái niệm về mặt tròn xoay - Hình học toán lớp 12

1. Sự tạo thành mặt tròn xoay

Trong không gian cho mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $\triangle$ và một đường $(\ell)$. Khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh $\triangle$ một góc thì mỗi điểm $M$ trên đường $(\ell)$ vạch ra một đường tròn có tâm $O$thuộc $\triangle$ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với $\triangle$. Như vậy khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh đường thẳng $\triangle$ thì đường $(\ell)$ sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay.

Đường $(\ell)$ được gọi là đường sinh, đường thẳng $\triangle$ được gọi là trục của mặt tròn xoay.

2. Mặt nón tròn xoay

2.1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $d$ và $\triangle$ cắt nhau tại điểm $O$ và tạo thành góc $\beta$ với $0^o <\beta<90^o$. Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $\triangle$ thì đường thẳng $d$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh $O$. Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng $\triangle$ gọi là trục, đường thẳng $d$ gọi là đường sinh và góc $2\beta$ gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

2.2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

a) Cho tam giác $OIM$ vuông tại $I$. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông $OI$ thì đường gấp khúc $OMI$ tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

b) Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.

2.3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Công thức

                                          $S_{xq}=\pi rl$

$r$ : bán kính đường tròn đáy của hình nón

$l$ : độ dài đường sinh của hình nón

2.4. Thể tích khối nón tròn xoay

Thể tích khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Công thức

                                          $V= \frac{1}{3}Bh$

$B$ : diện tích đáy

$h$ : chiều cao của hình nón

3. Mặt trụ tròn xoay

3.1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $\triangle$ và $l$ song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng $r$. Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $\triangle$ thì đường thẳng $l$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng $\triangle$ gọi là trục, đường thẳng $l$ gọi là đường sinh và $r$ là bán kính của mặt trụ đó.

3.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

a) Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ xung quanh đường thẳng chứa cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $ADCB$ tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ.

b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.

3.3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Công thức

                                                                      $S_{xq}=2\pi rl$

$r$ : bán kính đường tròn đáy

$l$ : độ dài đường sinh

3.4. Thể tích khối trụ tròn xoay

Thể tích khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Công thức

                                 $V=B.h$

$B$ : diện tích đáy của khối trụ

$h$ : chiều cao của khối trụ