Hệ tọa độ trong không gian - Hình học toán lớp 12
1. Tọa độ của điểm và của vectơ
1.1. Hệ tọa độ
Trong không gian, cho ba trục \(x'Ox,y'Oy,z'Oz\) vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) lần lượt là các vec tơ đơn vị trên các trục \(x'Ox,y'Oy,z'Oz\).
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc \(Oxyz\) trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ \(Oxyz\).
Điểm \(O\) được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng \((Oxy),(Oyz),(Ozx)\) đôi một vuông góc với nhau được gọi là mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) còn được gọi là không gian \(Oxyz\).
1.2. Tọa độ của một điểm
Trong không gian \(Oxyz\), cho một điểm \(M\) tùy ý
Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số \((x;y;z)\) thỏa mãn : \(\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\)
Ta gọi bộ ba số \((x;y;z)\) đó là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) và viết \(M=(x;y;z)\) hoặc \(M(x;y;z)\)
1.3. Tọa độ của vectơ
Trong không gian \(Oxyz\) cho vec tơ \(\overrightarrow{a}\), khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số \((a_1;a_2;a_3)\) sao cho : \(\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}\)
Ta gọi bộ ba số \((a_1;a_2;a_3)\) đó là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) đối với hệ tọa độ \(Oxyz\) và viết \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) hoặc \(\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)\)
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lí
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\). Ta có
a) \(\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)\)
b) \(k\overrightarrow{a}=k(a_1;a_2;a_3)=(ka_1;ka_2;ka_3)\) với \(k\) là một số thực
Hệ quả
a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\)
Ta có \(\overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=b_1\\a_2=b_2\\a_3=b_3\end{cases}\)
b) Vectơ \(\overrightarrow{0}\) có tọa độ là \((0;0;0)\)
c) Với \(\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) thì hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho : \(a_1=kb_1;a_2=kb_2;a_3=kb_3\)
d) Trong không gian \(Oxyz\), nếu cho hai điểm \(A(x_A;y_A;z_A)\)và \(B(x_B;y_B;z_B)\) thì
+) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)
+) Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) là
\(M ( \frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})\)
3. Tích vô hướng
3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong không gian \(Oxyz\), tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được xác định bởi công thức
\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
3.2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vectơ
Cho vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\), ta có : \(\mid \overrightarrow{a} \mid=\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}\)
b) Khoảng cách giữa hai điểm
Cho hai điểm \(A(x_A;y_A;z_A)\) và \(B(x_B;y_B;z_B)\), ta có
\(AB= \mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt {x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
c) Góc giữa hai vec tơ
Nếu \(\omega\) là góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) thì
\(cos \omega=cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}\sqrt{b^2_1+b^2_2+b^2_3}}\)
4. Phương trình mặt cầu
Định lí
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \((S)\) tâm \(I(a;b;c)\) bán kính \(r\) có phương trình là
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)
+ Mở rộng xem đầy đủ