Hàm số lũy thừa - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm

Hàm số \(y = x^\alpha\), với \(\alpha \in R\), được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số \(y = x^\alpha\), với \(\alpha \in R\) có đạo hàm với mọi \(x>0\) và \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\).

Chú ý

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng 

\((u^\alpha)'= \alpha.u^{\alpha-1}.u'\)

3. Khảo sát hàm số lũy thừa \(y = x^\alpha\)

a) \(y=x^\alpha, \alpha>0 \)

- Tập khảo sát \((0; +\infty)\)

- Sự biến thiên 

\(y'= \alpha. x^{\alpha-1}>0, \forall x>0\)

+) Giới hạn đặc biệt:

\(\lim\limits_{x \to 0^+} x^\alpha =0, \lim\limits_{x \to +\infty}x^\alpha =+\infty\)

+) Tiệm cận : Không có

b) \(y=x^\alpha, \alpha<0 \)

- Tập khảo sát \((0; +\infty)\)

- Sự biến thiên : \(y'= \alpha. x^{\alpha-1}<0, \forall x>0\)

+) Giới hạn đặc biệt

\(\lim\limits_{x \to 0^+} x^\alpha =+\infty, \lim\limits_{x \to +\infty}x^\alpha =0\)

+) Tiệm cận

Trục \(Ox\) là tiệm cận ngang

Trục \(Oy\) là tiệm cận đứng

Đồ thị

 

Tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa \(y=x^\alpha\) trên khoảng \((0, +\infty)\)

- \(\alpha>0\)

+) Đạo hàm : \(y'= \alpha. x^{\alpha-1}\)

+) Chiều biến thiên : Hàm số luôn đồng biến

+) Tiệm cận : Không có

+) Đồ thị : Đồ thị luôn đi qua điểm \((1;1)\)

- \(\alpha<0\)

+) Đạo hàm : \(y'= \alpha. x^{\alpha-1}\)

+) Chiều biến thiên : Hàm số luôn nghịch biến

+) Tiệm cận : Trục \(Ox\) là tiệm cận ngang, trục \(Oy\) là tiệm cận đứng

+) Đồ thị : Đồ thị luôn đi qua điểm \((1;1)\)