Cực trị của hàm số - Giải tích toán lớp 12
1. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên khoảng \((a;b)\) và điểm \(x_0\)\(\in\)\((a;b)\).
a) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)<\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\).
b) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)>\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)<\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\).
b) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)>\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1
Giả sử hàm số \(y=f(x)\)liên tục trên khoảng \(K=\)\((x_0-h;x_0+h)\)và có đạo hàm trên \(K\) hoặc trên K
Giả sử hàm số \(y=f(x)\)liên tục trên khoảng \(K=\)\((x_0-h;x_0+h)\)và có đạo hàm trên \(K\) hoặc trên K
{ \(x_0\) }, với \(h>0\).{ \(x_0\) }, với \(h>0\).
a) Nếu \(f'(x)>0\) trên khoảng \((x_o-h ; x_0)\) và \(f'(x)<0\) trên khoảng \((x_0; x_0+h)\) thì \(x_0\) là một điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).b) Nếu \(f'(x)<0\) trên khoảng \((x_o-h ; x_0)\) và \(f'(x)>0\) trên khoảng \((x_0; x_0+h)\) thì \(x_0\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
3. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
a) Tìm tập xác định.
b) Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó \(f'(x)\) bằng 0 hoặc \(f'(x)\) không xác định.c) Lập bảng biến thiên.d) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lí 2
giả sử hàm số \(y=f(x)\)có đạo hàm cấp hai trong khoảng \((x_0-h;x_0+h)\),với \(h>0\). Khi đó :
giả sử hàm số \(y=f(x)\)có đạo hàm cấp hai trong khoảng \((x_0-h;x_0+h)\),với \(h>0\). Khi đó :
a) Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểub) Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại
Quy tắc 2
a) Tìm tập xác định.b) Tính \(f'(x)\). giải phương trình \(f'(x)=0\) và kí hiệu \(x_i (i=1,2,...,n)\)là các nghiệm của nó.c) Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\)d) Dựa vào dấu của \(f''(x_i)\)suy ra tính chất cực trị của điểm \(x_i\).
+ Mở rộng xem đầy đủ