Vectơ trong không gian - Hình học toán lớp 11

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$. Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}...$

1.2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian
Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai  vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. 
Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong hình học phẳng.
Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ là $AB,AD,AA'$ và có đường chéo là $AC'$. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.

Trong không gian, tích của vectơ $\overrightarrow{a}$ với một số $k\neq0$ là vectơ $k\overrightarrow{a}$ được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.

Trong không gian cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác vectơ - không. Nếu từ một điểm $O$ bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ thì có thể xảy ra hai trường hợp

- Trường hợp các đường thẳng $OA,OB,OC$ không cùng nằm trên một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng.

- Trường hợp các đường thẳng $OA,OB,OC$ cùng nằm trên một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Trong không gian cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương và vectơ $\overrightarrow{c}$. Khi đó ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số $m,n$ sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$. Ngoài ra cặp số $m,n$ là duy nhất.

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$. Khi đó với mọi vectơ $\overrightarrow{x}$ ta đều tìm được một bộ ba số $m,n,p$ sao cho $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$. Ngoài ra bộ ba số $m,n,p$ là duy nhất.