Hai đường thẳng vuông góc - Hình học toán lớp 11

1. Tích vô hướng của hai vec tơ trong không gian

1.1. Góc giữa hai vec tơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ khác vectơ - không. Lấy một điểm $A$ bất kì, gọi $B$ và $C$ là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó ta gọi góc $\overbrace{BAC}$ $(0^o\leq \overbrace{BAC}\leq 180^o)$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian, kí hiệu $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ khác vectơ - không. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức

                                                                          $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid\overrightarrow{u}\mid.\mid\overrightarrow{v}\mid.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

2.1. Định nghĩa

Vectơ $\overrightarrow{a}$ khác vectơ - không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $d$.

2.2. Nhận xét

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì vectơ $k\overrightarrow{a}$ với $k\neq 0$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

b) Một đường thẳng $d$ trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm $A$ thuộc $d$ và một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$ của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

3.1. Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm là lần lượt song song với $a$ và $b$.

3.2. Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ ta có thể lấy điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng đi qua $O$ và song song với đường thẳng còn lại.

b) Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $a$ và $\overrightarrow{v}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $b$ và $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\alpha$ thì góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng $\alpha$ nếu $0^o\leq \alpha \leq 90^o$ và bằng $180^o-\alpha$ nếu $90^o< \alpha \leq 180^o$. Nếu $a$ và $b$ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0^o$.

4. Hai đường thẳng vuông góc

4.1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^o$.

4.2. Nhận xét

a) Nếu $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $a$ và $b$ thì $a\perp b\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.