Giới hạn của hàm số- Đại số và Giải tích toán lớp 11

1. giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng

$K$ chứa điểm

$x_0$ và hàm số

$y=f(x)$ xác định trên

$K$ hoặc trên

$K\backslash \left\{x_0\right\}$

Ta nói hàm số

$y=f(x)$ có giới hạn là số

$L$ khi

$x$ dần tới

$x_0$ nếu với dãy số

$(x_n)$ bất kì,

$x_n\in K\backslash \left\{x_0\right\}$ và

$x_n\to x_0$ , ta có

$f(x_n)\to L$

Kí hiệu:

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) =L$ hay

$f(x)\to L$ khi

$x \to x_0$

1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L, \lim\limits_{x \to x_0}g(x)=M$ . Khi đó

$\lim\limits_{x \to x_0}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M$

$\lim\limits_{x \to x_0}[f(x).g(x)]=L.M$

$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}(M\neq0)$

b) Nếu

$f(x) \geq0$ và

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L$ thì :

$L\geq 0, \lim\limits_{x \to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

1.3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số

$y=f(x)$ xác định trên khoảng

$(x_0;b)$

Số

$L$ được gọi là giới hạn bên phải của hàm số

$y=f(x)$ khi

$x\to x_0$ nếu với dãy số

$(x_n)$ bất kì,

$x_0 < x_n < b$ và

$x_n\to x_0$ , ta có

$f(x_n)\to L$

Kí hiệu:

$\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=L$
- Cho hàm số

$y=f(x)$ xác định trên khoảng

$(a;x_0)$

Số

$L$ được gọi là giới hạn bên trái của hàm số

$y=f(x)$ khi

$x\to x_0$ nếu với dãy số

$(x_n)$ bất kì,

$a< x_n< x_0$ và

$x_n\to x_0$ , ta có

$f(x_n)\to L$
Kí hiệu:

$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=L$

Định lí 2

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L$ khi và chỉ khi

$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=L$

2. Định lí hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số

$y=f(x)$ xác định trên khoảng

$(a;+\infty)$

Ta nói hàm số

$y=f(x)$ có giới hạn là số

$L$ khi

$x \to +\infty$ nếu với dãy số

$(x_n)$ bất kì,

$x_n>a$ và

$x_n \to +\infty$ , ta có

$f(x_n) \to L$

Kí hiệu :

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=L$ hay

$f(x)\to L$ khi

$x\to +\infty$

b) Cho hàm số

$y=f(x)$ xác định trên khoảng

$(-\infty;a)$

Ta nói hàm số

$y=f(x)$ có giới hạn là số

$L$ khi

$x \to -\infty$ nếu với dãy số

$(x_n)$ bất kì,

$x_n< a$ và

$x_n \to -\infty$ , ta có

$f(x_n) \to L$
Kí hiệu:

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=L$ hay

$f(x)\to L$ khi

$x \to -\infty$

3. Giới hạn vô cực của hàm số

3.1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số

$y=f(x)$ xác định trên khoảng

$(a;+\infty)$
Ta nói hàm số

$y=f(x)$ có giới hạn là

$-\infty$ số khi

$x\to +\infty$ nếu với dãy số

$(x_n)$ bất kì,

$x_n>a$ và

$x_n \to +\infty$ , ta có

$f(x_n) \to -\infty$
Kí hiệu:

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ hay

$f(x_n) \to -\infty$ khi

$x\to +\infty$

3.2. Một vài giới hạn đặc biệt

$\lim\limits_{x \to +\infty}x^k=+\infty$ với

$k$ nguyên dương

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^k=-\infty$ ,

$k$ lẻ

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^k=+\infty$ ,

$k$ chẵn

Bài trước Bài sau

Lý thuyết toán lớp 11

Chương 4 : Giới hạn

•Bài 1: Giới hạn của dãy số •Bài 2 : Giới hạn của hàm số •Bài 3 : Hàm số liên tục

+ Mở rộng xem đầy đủ