Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. Đạo hàm tại một điểm
1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
- Giới hạn hữu hạn (nếu có)
lim
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t_0.
- Giới hạn hữu hạn (nếu có)
\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0}
được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t_0.
1.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x_0\in (a;b)
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x_0 và kí hiệu là f'(x_0) (hoặc y'(x_0)), tức là
f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
1.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc
- Bước 1: giả sử \triangle x là số gia của đối số tại x_0, tính
\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)
- Bước 2: Lập tỉ số \frac{\triangle y}{\triangle x}
- Bước 3: Tìm \lim\limits_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x}
1.4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí 1
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x_0 thì nó liên tục tại điểm đó
Chú ý
a) Định lí trên tương đương với khẳng định:
Nếu hàm số y=f(x) gián đoạn tại x_0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng:
Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí 2
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x_0 là hệ số góc của tiếp tuyến M_0T của (C) tại điểm M_0(x_0;f(x_0))
Định lí 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm M_0(x_0;f(x_0)) là
y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
trong đó y_0=f(x_0)
1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a) Vận tốc tức thời
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s=s(t), với s=s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t_0 là đạo hàm của hàm số s=s(t) tại t_0
v(t_0)=s'(t_0)
b) Cường độ tức thời
Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian Q=Q(t) (Q=Q(t) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t_0 là đạo hàm của hàm số Q=Q(t) tại t_0
I(t_0)=Q'(t_0)
2. Đạo hàm trên một khoảng
Định nghĩa
Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số : f': (a;b)\rightarrow R
x \rightarrow f'(x)
là đạo hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y' hay f'(x).
+ Mở rộng xem đầy đủ