Tích vô hướng của hai vectơ - Hình học toán lớp 10
1. Định nghĩa
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\), đượ xác định bởi công thức sau:
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\)
Chú ý
a) Với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) ta có \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\).
b) Khi \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}\) được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^2\) và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\).
2. Các tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) bất kì và mọi số \(k\) ta có:
+) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\) (tính chất giao hoán)
+) \(\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\) (tính chất phân phối)
+) \((k\overrightarrow{a})\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})\)
+) \(\overrightarrow{a}^2\geq 0,\overrightarrow{a}^2=0 \Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)
Nhận xét
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2\)
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong mặt phẳng tọa độ \((O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\), cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2),\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\)
Khi đó tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) là
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
Nhận xét
Hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2),\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2=0\)
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) được tính theo công thức
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\) đều khác \(\overrightarrow{0}\) thì ta có
\(cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}\)
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_A;y_A)\) và \(B(x_B,y_B)\) được tính theo công thức:
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
+ Mở rộng xem đầy đủ