Tích của vectơ với một số - Hình học toán lớp 10
1. Định nghĩa
Cho số \(k\neq 0\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\neq 0\). Tích của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với số \(k\) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k> 0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(|k||\overrightarrow{a}|\).
2. Tính chất
Với hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số \(h\) và \(k\), ta có
+) \(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)
+) \((h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\)
+) \(h(k\overrightarrow{a})=(hk)\overrightarrow{a}\)
+) \(1. \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}, (-1).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\)
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu \(I\) là trung điểm \(AB\) của đoạn thẳng thì mọi điểm \(M\) ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
b) Nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì với mọi điểm \(M\) ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) \((\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0})\) cùng phương là có một số \(k\) để \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Khi đó mọi vectơ \(\overrightarrow{x}\) đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), nghĩa là có duy nhất cặp số \(h,k\) sao cho \(\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\).
+ Mở rộng xem đầy đủ