Phương trình mặt phẳng - Hình học toán lớp 12

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa

Cho mặt phẳng \((\alpha)\). Nếu vectơ \(\overrightarrow{n}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và có giá vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) thì được gọi là vec tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

Vectơ \(\overrightarrow{n}\) gọi là tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), kí hiệu là \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\)

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa

Phương trình có dạng \(Ax+By+Cz+D=0(1)\), trong đó \(A,B,C\) không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét

Nếu cả bốn hệ \(A,B,C,D\) số đều khác 0 thì bằng cách đặt \(a=-\frac{D}{A},b=-\frac{D}{B},c=-\frac{D}{C}\), ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau đây: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

Khi đó mặt phẳng \((\alpha)\) cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm có tọa độ là \((a;0;0),(0;b;0),(0;0;c)\). Người ta gọi phương trình trên là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

3.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

+) \((\alpha_1//\alpha_2) \Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}\\D_1\neq kD_2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(A_1;B_1;C_1)=k(A_2;B_2;C_2)\\ D_1\neq kD_2 \end{cases} \)

+) \((\alpha_1\equiv\alpha_2) \Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}\\D_1= kD_2\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}(A_1;B_1;C_1)=k(A_2;B_2;C_2)\\ D_1= kD_2 \end{cases}\)

3.2. Điều kiện để hai mặt vuông góc

\((\alpha_1\perp \alpha_2)\Leftrightarrow \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\)

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí 

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình \(Ax+By+Cz+D=0\) và điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng \((\alpha)\), kí hiệu là \(d(M_0,(\alpha))\) được tính theo công thức

                                 \(d(M_0,(\alpha))=\frac{\mid Ax_0+By_0+Cz_0+D \mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)