Phương trình đường thẳng - Hình học toán lớp 10
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ \(\overrightarrow{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\triangle\) nếu \(\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}\) và giá của \(\overrightarrow{u}\) song song hoặc trùng với \(\triangle\).
Nhận xét
- Nếu \(\overrightarrow{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\triangle\) thì \(k\overrightarrow{u}(k\neq 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\triangle\). Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\triangle\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)\) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm \(M(x;y)\) bất kì trong mặt phẳng, ta có \(\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0;y-y_0)\). Khi đó \(M\in \triangle \Leftrightarrow \overrightarrow{M_0M}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{M_0M}=t\overrightarrow{u}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}x-x_0=tu_1\\y-y_0=tu_2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=x_0+tu_1\\y=y_0
+tu_2\end{cases}\) (1)
Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\triangle\), trong đó \(t\) là tham số.
b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng
Nếu đường thẳng \(\triangle\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)\) với \(u_1\neq 0\) thì \(\triangle\) có hệ số góc \(k=\frac{u_2}{u_1}\).
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\triangle\) nếu \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(\triangle\).
Nhận xét
- Nếu \(\overrightarrow{n}\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\triangle\) thì \(k\overrightarrow{n}(k\neq 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\triangle\). Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa
Phương trình \(ax+by+c=0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
Nếu đường thẳng \(\triangle\) có phương trình là \(ax+by+c=0\) thì \(\triangle\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(a;b)\) và vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(-b;a)\).
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) có phương trình tổng quát lần lượt là
\(a_1x+b_1y+c_1=0\) và \(a_2x+b_2y+c_2=0\)
Tọa độ giao điểm của \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}\) (I)
Ta có các trường hợp sau
a) Hệ (I) có một nghiệm \((x_0;y_0)\), khi đó \(\triangle_1\) cắt \(\triangle_2\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\).
b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó \(\triangle_1\) trùng với \(\triangle_2\).
c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) không có điểm chung, hay \(\triangle_1\) song song với \(\triangle_2\).
6. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
\(\triangle _1 : a_1x+b_1y+c_1=0\)
\(\triangle _2 : a_2x+b_2y+c_2=0\)
Đặt \(\alpha =(\overbrace{\triangle_1,\triangle_2})\) thì ta thấy \(\alpha\) bằng hoặc bù với góc giữa \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) trong đó \(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\). Vì \(cos \alpha \geq 0\) nên ta suy ra
\(cos α =\mid cos (\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})\mid= \frac {\mid \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\mid} {\mid \overrightarrow{n_1}\mid.\mid\overrightarrow{n_2}\mid}\)
Chú ý
- \(\triangle_1 \bot \triangle_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{n_1}\bot \overrightarrow{n_2}\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0\)
- Nếu \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) có phương trình \(y=k_1x+m_1,y=k_2x+m_2\) thì
\(\triangle_1 \bot \triangle_2 \Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\triangle\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0;y_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(\triangle\), kí hiệu là \(d(M_0,\triangle)\), được tính bởi công thức :
\(d(M_0;∆)=\frac{\mid ax_0+by_0+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
+ Mở rộng xem đầy đủ