Hệ trục tọa độ - Hình học toán lớp 10
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm \(O\) gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị \(\overrightarrow{e}\).
Ta kí hiệu trục đó là \((O;\overrightarrow{e})\).
b) Cho \(M\) là một điểm tùy ý trên trục \((O;\overrightarrow{e})\). Khi đó có duy nhất một số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{e}\). Ta gọi số \(k\) đó là tọa độ của điểm \(M\) đối với trục đã cho.
c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) trên trục \((O;\overrightarrow{e})\). Khi đó có duy nhất số \(a\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{e}\). Ta gọi số \(a\) đó là độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) đối với trục đã cho và kí hiệu \(a=\overline{AB}\).
Nhận xét
Nếu \(\overrightarrow{AB}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{e}\) thì \(\overline{AB}=AB\), còn nếu \(\overrightarrow{AB}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{e}\) thì \(\overline{AB}=-AB\).
Nếu hai điểm \(A\) và \(B\) trên trục \((O;\overrightarrow{e})\) có tọa độ lần lượt là \(a\) và \(b\) thì \(\overline{AB}=b-a\).
2. Hệ trục tọa độ
a) Định nghĩa
Hệ trục tọa độ \((O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\) gồm hai trục \((O;\overrightarrow{i})\) và \((O;\overrightarrow{j})\) vuông góc với nhau. Điểm gốc \(O\) chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục \((O;\overrightarrow{i})\) được gọi là trục hoành và kí hiệu là \(Ox\), trục \((O;\overrightarrow{j})\) được gọi là trục tung và kí hiệu là \(Oy\). Các vectơ \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{j}\) là các vectơ đơn vị trên \(Ox\) và \(Oy\) và \(|\overrightarrow{i}|=|\overrightarrow{j}|=1\). Hệ trục tọa độ \((O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\) còn được kí hiệu là \(Oxy\).
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ \(Oxy\) được gọi là mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) hay gọi tắt là mặt phẳng \(Oxy\).
b) Tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho một vectơ \(\overrightarrow{u}\) tùy ý. Vẽ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) và gọi \(A_1,A_2\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(Ox\) và \(Oy\). Ta có \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\) và cặp số duy nhất \((x;y)\) để \(\overrightarrow{OA_1}=x\overrightarrow{i}, \overrightarrow{OA_2}=y\overrightarrow{j}\). Như vậy \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\).
Cặp số \((x;y)\) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\) và viết \(\overrightarrow{u}=(x;y)\) hoặc \(\overrightarrow{u}(x;y)\). Số thứ nhất \(x\) gọi là hoành độ, số thứ hai \(y\) gọi là tung độ của vectơ .
Như vậy
\(\overrightarrow{u}=(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu \(\overrightarrow{u}=(x,y), \overrightarrow{u'}=(x',y')\) thì
\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u'}\Leftrightarrow \begin{cases}x=x'\\y=y'\end{cases}\)
c) Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho một điểm \(M\) tùy ý. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OM}\) đối với hệ trục \(Oxy\) được gọi là tọa độ của điểm \(M\) đối với hệ trục đó.
Như vậy, cặp số \((x;y)\) là tọa độ của điểm \(M\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OM}=(x;y)\). Khi đó ta viết \(M(x;y)\) hoặc \(M=(x;y)\). Số \(x\) được gọi là hoành độ, còn số \(y\) được gọi là tung độ của điểm \(M\). Hoành độ của điểm \(M\) còn được kí hiệu là \(x_M\), tung độ của điểm \(M\) còn được kí hiệu là \(y_M\).
\(M(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm \(A(x_A;y_A)\) và \(B(x_B;y_B)\). Ta có
\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\)
3. Tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{k},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{k},k\overrightarrow{u}\)
Cho \(\overrightarrow{u}=(u_1,u_2),\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)\). Khi đó
+) \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1;u_2+v_2)\)
+) \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1;u_2-v_2)\)
+) \(k\overrightarrow{u}=(ku_1;ku_2), k\in R\)
Nhận xét. Hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(u_1,u_2),\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)\) với \(\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(u_1=kv_1,u_2=kv_2\).
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng \(AB\) có \(A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)\). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm \(I(x_I;y_I)\) của đoạn thẳng \(AB\) là :
\(x_I=\frac{x_A+x_B}{2};y_I= \frac{y_A+y_B}{2}\)
b) Cho tam giác \(ABC\) có \(A(x_A;y_A),B(x_B;y_B), C(x_C;y_C)\). Khi đó tọa độ của trọng tâm \(G(x_G;y_G)\) của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức:
\(x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G= \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\)
+ Mở rộng xem đầy đủ