Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Hình học toán lớp 10
1. Định lí côsin
Trong tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a, CA=b, AB=c\) ta có :
\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)
Hệ quả
\(cos A= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(cos B= \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(cos C= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
Áp dụng
Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(BC=a, CA=b, AB=c\). Gọi \(m_a,m_b,m_c\) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh \(A,B,C\) của tam giác. Ta có
\(m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}\)
\(m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}\)
\(m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}\)
2. Định lí sin
Trong tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a, CA=b, AB=c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có
\(\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin B}=\frac{c}{sin C}=2R\)
3. Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(BC=a, CA=b, AB=c\).
Gọi \(R\) và \(r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và \(p=\frac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác.
Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được tính theo một trong các công thức sau
\(S=\frac{1}{2}absin C=\frac{1}{2}bcsin A=\frac{1}{2}casin B\)
\(S=\frac{abc}{4R}\)
\(S=pr\)
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) (công thức Hê-rông)
+ Mở rộng xem đầy đủ