Tích phân - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm tích phân

Định nghĩa 

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$.

Hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ (hay tích phân xác định trên đoạn $[a;b]$ của hàm số $f(x)$ ).

                                                         Kí hiệu là : I=$\int_a^b f(x)dx$

                         Vậy $\int_a^b f(x)dx =F(x)\mid_a^b= F(b)-F(a)$

        Ta gọi $\int_a ^b$ là dấu tích phân, $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f(x)dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân, $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý

     Trong trường hợp $a=b$ hoặc $a>b$, ta quy ước

                                                          $\int_a^a f(x)dx=0$, $\int _a^b f(x)dx= -\int _b^a f(x)dx$

Ý nghĩa hình học của tích phân

     Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$, thì tích phân $​\int_a^bf(x)dx$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của $f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$. Vậy

                                                                     $S=​\int_a^bf(x)dx$

2. Tính chất của tích phân

Tính chất 1

                   $\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx$

Tính chất 2

                   $\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^bg(x)dx$

Tính chất 3

                   $\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$       $(a < c< b)$

3. Phương pháp tính tích phân

3.1. Phương pháp đổi biến số

     Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Giả sử hàm số $x=u(t)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[\alpha; \beta]$ sao cho $u(\alpha)=a, u(\beta)=b$ và $a\leq u(t) \leq b$ với mọi $t \in [\alpha; \beta]$.

                                                                                     Khi đó $\int_a^bf(x)dx= \int_\alpha ^\beta f(u(t))u'(t)dt$

3.2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí

     Nếu $u=u(x)$ và $v=v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$, thì :

                                                           $\int_a^b u(x)v'(x)dx=(u(x)v(x))\mid_a^b -\int_a^bu'(x)v(x)dx$

                                                    hay $\int_a^b udv=uv\mid_a^b-\int_a^bvdu$