Tích phân - Giải tích toán lớp 12
1. Khái niệm tích phân
Định nghĩa
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a;b]\).
Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a;b]\) của hàm số \(f(x)\) ).
Kí hiệu là :
Vậy \(\int_a^b f(x)dx =F(x)\mid_a^b= F(b)-F(a)\)
Ta gọi \(\int_a ^b\) là dấu tích phân, \(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên, \(f(x)dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân, \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý
Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a>b\), ta quy ước
\(\int_a^a f(x)dx=0\), \(\int _a^b f(x)dx= -\int _b^a f(x)dx\)
Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a;b]\), thì tích phân \(\int_a^bf(x)dx\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy
\(S=\int_a^bf(x)dx\)
2. Tính chất của tích phân
Tính chất 1
\(\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx\)
Tính chất 2
\(\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^bg(x)dx\)
Tính chất 3
\(\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\) \((a < c< b)\)
3. Phương pháp tính tích phân
3.1. Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử hàm số \(x=u(t)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([\alpha; \beta]\) sao cho \(u(\alpha)=a, u(\beta)=b\) và \(a\leq u(t) \leq b\) với mọi \(t \in [\alpha; \beta]\).
Khi đó \(\int_a^bf(x)dx= \int_\alpha ^\beta f(u(t))u'(t)dt\)
3.2. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí
Nếu \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a;b]\), thì :
\(\int_a^b u(x)v'(x)dx=(u(x)v(x))\mid_a^b -\int_a^bu'(x)v(x)dx\)
hay \(\int_a^b udv=uv\mid_a^b-\int_a^bvdu\)