Tích phân - Giải tích toán lớp 12
1. Khái niệm tích phân
Định nghĩa
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b].
Hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x) ).
Kí hiệu là :
Vậy ∫baf(x)dx=F(x)∣ba=F(b)−F(a)
Ta gọi ∫ba là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý
Trong trường hợp a=b hoặc a>b, ta quy ước
∫aaf(x)dx=0, ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b], thì tích phân ∫baf(x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b. Vậy
S=∫baf(x)dx
2. Tính chất của tích phân
Tính chất 1
∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx
Tính chất 2
∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
Tính chất 3
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx (a<c<b)
3. Phương pháp tính tích phân
3.1. Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x=u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho u(α)=a,u(β)=b và a≤u(t)≤b với mọi t∈[α;β].
Khi đó ∫baf(x)dx=∫βαf(u(t))u′(t)dt
3.2. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí
Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :
∫bau(x)v′(x)dx=(u(x)v(x))∣ba−∫bau′(x)v(x)dx
hay ∫baudv=uv∣ba−∫bavdu