Tích phân - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm tích phân

Định nghĩa 

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b].

Hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x) ).

                                                         Kí hiệu là : 

                         Vậy baf(x)dx=F(x)ba=F(b)F(a)

        Ta gọi ba là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý

     Trong trường hợp a=b hoặc a>b, ta quy ước

                                                          aaf(x)dx=0baf(x)dx=abf(x)dx

Ý nghĩa hình học của tích phân

     Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b], thì tích phân baf(x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b. Vậy

                                                                     S=baf(x)dx

2. Tính chất của tích phân

Tính chất 1

                   bakf(x)dx=kbaf(x)dx

Tính chất 2

                   ba[f(x)±g(x)]dx=baf(x)dx±bag(x)dx

Tính chất 3

                   baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx       (a<c<b)

3. Phương pháp tính tích phân

3.1. Phương pháp đổi biến số

     Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x=u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho u(α)=a,u(β)=b và au(t)b với mọi t[α;β].

                                                                                     Khi đó baf(x)dx=βαf(u(t))u(t)dt

3.2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí

     Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

                                                           bau(x)v(x)dx=(u(x)v(x))babau(x)v(x)dx

                                                    hay baudv=uvbabavdu