Lũy thừa - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm lũy thừa

1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương.

Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\)

\(a^n=\underbrace{a.a. ... .a} \) ( \(n\) thừa số )

Với \(a\neq0\)

\(a^0=1\)                          \(a^{-n}=1/a^n\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

Chú ý

\(0^0, 0^{-n}\) không có nghĩa

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

1.2. Phương trình \(x^n=b\)

a) \(n\) lẻ

Với mọi số thực \(b\), phương trình có nghiệm duy nhất.

b) \(n\) chẵn

+ \(b<0\), phương trình vô nghiệm.

+ \(b=0\), phương trình có một nghiệm \(x=0\)

+ \(b>0\), phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3. Căn bậc \(n\)

a) Khái niệm

Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n \) \((n\geq2)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n \) của số \(b\) nếu \(a^n=b\).

b) Tính chất của căn bậc \(n\)

\(\sqrt[n]{a} .\sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{ab}\)

\({\sqrt[n]{a}}/{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

\({(\sqrt[n]{a})}^m= \sqrt[n]{{a^m}}\)

\(\sqrt[n]{{a}^n}= \begin{cases}a & ,n\\|a| & ,n\end{cases}\)

( n lẻ, n chẵn )

\(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\)

1.4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực \(a\) dương và số hữu tỉ \(r=m/n\), trong đó \(m\in Z, n\in N, n\geq2\). Lũy thừa của \(a\) với sỗ mũ \(r\)là số \(a^r\) xác định bởi

\(a^r=a^{m/n}= \sqrt[n]{{a^m}}\)

1.5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ. 

Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ \((r_n)\) có giới hạn là \(\alpha\) và dãy số tương ứng \((a^{r_n})\) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số \((r_n)\)

Ta gọi giới hạn của dãy số \((a^{r_n})\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu \(a^\alpha\).

2. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho \(a,b\) là những số thực dương, \(\alpha,\beta\) là những số thực tùy ý. Khi đó , ta có

\(a^\alpha.a^\beta= a^{\alpha+\beta}\)

\(a^\alpha/a^\beta=a^{\alpha-\beta}\)

\({(a^\alpha)}^\beta=a^{\alpha.\beta}\)

\({(ab)}^\alpha=a^\alpha.b^\alpha\)

\({(a/b)}^\alpha= {a^\alpha}/{b^\alpha}\)

Nếu \(a>1, a^\alpha>a^\beta\) khi và chỉ khi \(\alpha>\beta\).

Nếu \(a<1, a^\alpha>a^\beta\) khi và chỉ khi \(\alpha<\beta\).