Lũy thừa - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm lũy thừa

1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương.

Với $a$ là số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$

$a^n=\underbrace{a.a. ... .a}$ ( $n$ thừa số )

Với $a\neq0$

$a^0=1$                          $a^{-n}=1/a^n$

Trong biểu thức $a^m$, ta gọi $a$ là cơ số, số nguyên $m$ là số mũ.

Chú ý

$0^0, 0^{-n}$ không có nghĩa

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

1.2. Phương trình $x^n=b$

a) $n$ lẻ

Với mọi số thực $b$, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) $n$ chẵn

+ $b<0$, phương trình vô nghiệm.

+ $b=0$, phương trình có một nghiệm $x=0$

+ $b>0$, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3. Căn bậc $n$

a) Khái niệm

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n$ $(n\geq2)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu $a^n=b$.

b) Tính chất của căn bậc $n$

$\sqrt[n]{a} .\sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{ab}$

${\sqrt[n]{a}}/{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

${(\sqrt[n]{a})}^m= \sqrt[n]{{a^m}}$

$\sqrt[n]{{a}^n}= \begin{cases}a & ,n\\|a| & ,n\end{cases}$

( n lẻ, n chẵn )

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

1.4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=m/n$, trong đó $m\in Z, n\in N, n\geq2$. Lũy thừa của $a$ với sỗ mũ $r$là số $a^r$ xác định bởi

$a^r=a^{m/n}= \sqrt[n]{{a^m}}$

1.5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho $a$ là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ. 

Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ $(r_n)$ có giới hạn là $\alpha$ và dãy số tương ứng $(a^{r_n})$ có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số $(r_n)$

Ta gọi giới hạn của dãy số $(a^{r_n})$ là lũy thừa của $a$ với số mũ $\alpha$, kí hiệu $a^\alpha$.

2. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho $a,b$ là những số thực dương, $\alpha,\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó , ta có

$a^\alpha.a^\beta= a^{\alpha+\beta}$

$a^\alpha/a^\beta=a^{\alpha-\beta}$

${(a^\alpha)}^\beta=a^{\alpha.\beta}$

${(ab)}^\alpha=a^\alpha.b^\alpha$

${(a/b)}^\alpha= {a^\alpha}/{b^\alpha}$

Nếu $a>1, a^\alpha>a^\beta$ khi và chỉ khi $\alpha>\beta$.

Nếu $a<1, a^\alpha>a^\beta$ khi và chỉ khi $\alpha<\beta$.