Lôgarit - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm lôgarit

1.1. Định nghĩa

Cho hai số dương \(a,b \)  với \(a\neq1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn đẳng thức \(a^\alpha=b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(log_ab\).

\(\alpha= log_ab\Leftrightarrow a^\alpha=b\)

Chú ý 

Không có lôgarit của số âm và số 0.

1.2. Tính chất

Cho hai số dương \(a,b \)  với \(a\neq1\). Ta có các tính chất sau đây

\(log_a1=0\),     \(log_aa=1\)

\(a^{log_ab}=b\),     \(log_a(a^\alpha)=\alpha\)

2. Quy tắc tính lôgarit

2.1. Lôgarit của một tích

Định lí 1

Cho ba số dương \(a, b_1,b_2\) với \(a\neq1\), ta có 

\(log_a(b_1b_2)=log_ab_1+log_ab_2\)

Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Chú ý 

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của \(n\) số dương 

\(log_a(b_1b_2...b_n)=log_ab_1+log_ab_2+...+log_ab_n\)

\((a,b_1, b_2,...,b_n>0, a\neq1)\)

2.2. Lôgarit của một thương

Định lí 2

Cho ba số dương \(a, b_1,b_2\) với \(a\neq1\), ta có 

\(log_a\frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-loa_ab_2\)

Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.

Đặc biệt

 \(log_a\frac{1}{b}=-log_ab\) \((a>0,b>0, a\neq1\)

2.3. Lôgarit của một lũy thừa

Định lí 3

Cho hai số dương \(a,b;a\neq1\). Với mọi \(\alpha\), ta có

\(log_a{b^\alpha}=\alpha log_ab\)

Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

Đặc biệt

\(log_a{\sqrt[n]{b}}=\frac{1}{n}log_ab\)

3. Đổi cơ số

Định lí 4

Cho ba số dương \(a,b,c\) với \(a\neq1,c\neq1\), ta có \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)

Đặc biệt

\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)         \((b\neq1)\)

\(log_{a^\alpha}b=\frac{1}{\alpha}log_ab\)    \((\alpha \neq0)\)

4. Lôgarit thập phân.  Lôgarit tự nhiên

4.1. Lôgarit thập phân

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.

\(log_{10}b\) thường được viết là \(logb\) hoặc \(lgb\).

4.2. Lôgarit tự nhiên

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\)

\(log_eb\) thường viết là \(lnb\).