Lôgarit - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm lôgarit

1.1. Định nghĩa

Cho hai số dương $a,b$  với $a\neq1$. Số $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức $a^\alpha=b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$ và kí hiệu là $log_ab$.

$\alpha= log_ab\Leftrightarrow a^\alpha=b$

Chú ý 

Không có lôgarit của số âm và số 0.

1.2. Tính chất

Cho hai số dương $a,b$  với $a\neq1$. Ta có các tính chất sau đây

$log_a1=0$,     $log_aa=1$

$a^{log_ab}=b$,     $log_a(a^\alpha)=\alpha$

2. Quy tắc tính lôgarit

2.1. Lôgarit của một tích

Định lí 1

Cho ba số dương $a, b_1,b_2$ với $a\neq1$, ta có 

$log_a(b_1b_2)=log_ab_1+log_ab_2$

Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Chú ý 

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của $n$ số dương 

$log_a(b_1b_2...b_n)=log_ab_1+log_ab_2+...+log_ab_n$

$(a,b_1, b_2,...,b_n>0, a\neq1)$

2.2. Lôgarit của một thương

Định lí 2

Cho ba số dương $a, b_1,b_2$ với $a\neq1$, ta có 

$log_a\frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-loa_ab_2$

Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.

Đặc biệt

 $log_a\frac{1}{b}=-log_ab$ $(a>0,b>0, a\neq1$

2.3. Lôgarit của một lũy thừa

Định lí 3

Cho hai số dương $a,b;a\neq1$. Với mọi $\alpha$, ta có

$log_a{b^\alpha}=\alpha log_ab$

Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

Đặc biệt

$log_a{\sqrt[n]{b}}=\frac{1}{n}log_ab$

3. Đổi cơ số

Định lí 4

Cho ba số dương $a,b,c$ với $a\neq1,c\neq1$, ta có $log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$

Đặc biệt

$log_ab=\frac{1}{log_ba}$         $(b\neq1)$

$log_{a^\alpha}b=\frac{1}{\alpha}log_ab$    $(\alpha \neq0)$

4. Lôgarit thập phân.  Lôgarit tự nhiên

4.1. Lôgarit thập phân

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.

$log_{10}b$ thường được viết là $logb$ hoặc $lgb$.

4.2. Lôgarit tự nhiên

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số $e$

$log_eb$ thường viết là $lnb$.