Hàm số lũy thừa - Giải tích toán lớp 12

1. Khái niệm

Hàm số $y = x^\alpha$, với $\alpha \in R$, được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số $y = x^\alpha$, với $\alpha \in R$ có đạo hàm với mọi $x>0$ và $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$.

Chú ý

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng 

$(u^\alpha)'= \alpha.u^{\alpha-1}.u'$

3. Khảo sát hàm số lũy thừa $y = x^\alpha$

a) $y=x^\alpha, \alpha>0$

- Tập khảo sát $(0; +\infty)$

- Sự biến thiên 

$y'= \alpha. x^{\alpha-1}>0, \forall x>0$

+) Giới hạn đặc biệt:

$\lim\limits_{x \to 0^+} x^\alpha =0, \lim\limits_{x \to +\infty}x^\alpha =+\infty$

+) Tiệm cận : Không có

b) $y=x^\alpha, \alpha<0$

- Tập khảo sát $(0; +\infty)$

- Sự biến thiên : $y'= \alpha. x^{\alpha-1}<0, \forall x>0$

+) Giới hạn đặc biệt

$\lim\limits_{x \to 0^+} x^\alpha =+\infty, \lim\limits_{x \to +\infty}x^\alpha =0$

+) Tiệm cận

Trục $Ox$ là tiệm cận ngang

Trục $Oy$ là tiệm cận đứng

Đồ thị

 

Tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa $y=x^\alpha$ trên khoảng $(0, +\infty)$

- $\alpha>0$

+) Đạo hàm : $y'= \alpha. x^{\alpha-1}$

+) Chiều biến thiên : Hàm số luôn đồng biến

+) Tiệm cận : Không có

+) Đồ thị : Đồ thị luôn đi qua điểm $(1;1)$

- $\alpha<0$

+) Đạo hàm : $y'= \alpha. x^{\alpha-1}$

+) Chiều biến thiên : Hàm số luôn nghịch biến

+) Tiệm cận : Trục $Ox$ là tiệm cận ngang, trục $Oy$ là tiệm cận đứng

+) Đồ thị : Đồ thị luôn đi qua điểm $(1;1)$