Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Giải tích toán lớp 12

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\).

a) Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên tập \(D\) nếu \(f(x)\leq M\) với mọi \(x\) thuộc \(D\) và tồn tại \(x_0\in D\) sao cho \(f(x_0)=M\).

                                                   Kí hiệu \(M=\max f(x)\) 

b) Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên tập \(D\) nếu \(f(x)\geq m\) với mọi \(x\) thuộc \(D\) và tồn tại \(x_0\in D\) sao cho \(f(x_0)=m\).

                                                   Kí hiệu \(m=\min f(x)\) 

2. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

2.1 Định lí 

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Quy tắc

a) Tìm các điểm \(x_1, x_2,..., x_n\) trên khoảng \((a;b)\), tại đó \(f'(x)\) bằng 0 hoặc \(f'(x)\) không xác định.

b) Tính \(f(a), f(x_1), f(x_2),..., f(x_n), f(b) \).

c) Tìm số lớn nhất \(M\) và số nhỏ nhất \(m\) trong các số trên.

Chú ý

Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng.