Cực trị của hàm số - Giải tích toán lớp 12
1. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1
Giả sử hàm số y=f(x)liên tục trên khoảng K=(x0−h;x0+h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K
Giả sử hàm số y=f(x)liên tục trên khoảng K=(x0−h;x0+h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K
{ x0 }, với h>0.{ x0 }, với h>0.
a) Nếu f′(x)>0 trên khoảng (xo−h;x0) và f′(x)<0 trên khoảng (x0;x0+h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).b) Nếu f′(x)<0 trên khoảng (xo−h;x0) và f′(x)>0 trên khoảng (x0;x0+h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
3. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
a) Tìm tập xác định.
b) Tính f′(x). Tìm các điểm tại đó f′(x) bằng 0 hoặc f′(x) không xác định.c) Lập bảng biến thiên.d) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lí 2
giả sử hàm số y=f(x)có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0−h;x0+h),với h>0. Khi đó :
giả sử hàm số y=f(x)có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0−h;x0+h),với h>0. Khi đó :
a) Nếu f′(x0)=0, f″ thì x_0 là điểm cực tiểub) Nếu f'(x_0)=0, f''(x_0)<0 thì x_0 là điểm cực đại
Quy tắc 2
a) Tìm tập xác định.b) Tính f'(x). giải phương trình f'(x)=0 và kí hiệu x_i (i=1,2,...,n)là các nghiệm của nó.c) Tính f''(x) và f''(x_i)d) Dựa vào dấu của f''(x_i)suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.
+ Mở rộng xem đầy đủ