Giới hạn của dãy số - Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu ∣un∣ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limn→+∞un=0 hay un→0 khi n→+∞
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n→+∞, nếu limn→+∞(vn−a)=0
Kí hiệu: limn→+∞vn=a hay vn→a khi n→+∞
1.2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) limn→+∞1a=0;limn→+∞1nk=0, với k nguyên dương
b) limn→+∞qn=0,∣q∣<1
c) Nếu un=c thì limn→+∞un=limn→+∞c=c
Chú ý
Từ nay về sau thay cho limn→+∞un=a, ta viết tắt là limun=a
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Nếu limun=a,limvn=b thì
+) lim(un±vn)=a±b
+) lim(un.vn)=a.b
+) limunvn=ab(b≠0)
b) Nếu un≥0 với mọi n và lim limun=a thì : a≥0,lim√un=√a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với ∣q∣<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được kí hiệu là S=u1+u2+...+un
S=u11−q(∣q∣<1)
4. Giới hạn vô cực
4.1. Định nghĩa
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limun=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞
- Dãy số (un) đươc gọi là có giới hạn −∞ khi n→+∞ nếu lim(−un)=+∞
Kí hiệu: limun=−∞ hay un→−∞ khi n→+∞
4.2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) limnk=+∞ với k nguyên dương
b) limqn=+∞ nếu q>1
4.3. Định lí
Định lí 2
a) Nếu limun=a và limvn=±∞ thì limunvn=0
b) Nếu limun=a>0 và limvn=0, vn>0 với mọi n thì limunvn=+∞
c) Nếu limun=+∞ và limvn=a>0 thì limunvn=+∞
+ Mở rộng xem đầy đủ