Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Đại số và Giải tích toán lớp 11

1. Đạo hàm tại một điểm

1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

- Giới hạn hữu hạn (nếu có)

$\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$

được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

$t_0$ .

- Giới hạn hữu hạn (nếu có)

$\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0}$

được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm

$t_0$ .

1.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa

Cho hàm số

$y=f(x)$ xác định trên khoảng

$(a;b)$ và

$x_0\in (a;b)$

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

$\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số

$y=f(x)$ tại điểm

$x_0$ và kí hiệu là

$f'(x_0)$ (hoặc

$y'(x_0)$ ), tức là

$f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

1.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc

- Bước 1: giả sử

$\triangle x$ là số gia của đối số tại

$x_0$ , tính

$\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$

- Bước 2: Lập tỉ số

$\frac{\triangle y}{\triangle x}$

- Bước 3: Tìm

$\lim\limits_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x}$

1.4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

Nếu hàm số

$y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm

$x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó

Chú ý

a) Định lí trên tương đương với khẳng định:

Nếu hàm số

$y=f(x)$ gián đoạn tại

$x_0$ thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng:

Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

Đạo hàm của hàm số

$y=f(x)$ tại điểm

$x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến

$M_0T$ của

$(C)$ tại điểm

$M_0(x_0;f(x_0))$

Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

$(C)$ của hàm số

$y=f(x)$ tại điểm

$M_0(x_0;f(x_0))$ là

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

trong đó

$y_0=f(x_0)$

1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

$s=s(t)$ , với

$s=s(t)$ là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

$t_0$ là đạo hàm của hàm số

$s=s(t)$ tại

$t_0$

$v(t_0)=s'(t_0)$

b) Cường độ tức thời

Nếu điện lượng

$Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian

$Q=Q(t)$ (

$Q=Q(t)$ là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm

$t_0$ là đạo hàm của hàm số

$Q=Q(t)$ tại

$t_0$

$I(t_0)=Q'(t_0)$

2. Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa

Hàm số

$y=f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng

$(a;b)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm

$x$ trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số :

$f': (a;b)\rightarrow R$

$x \rightarrow f'(x)$

là đạo hàm của hàm số

$y=f(x)$ trên khoảng

$(a;b)$ , kí hiệu là

$y'$ hay

$f'(x)$ .

Bài trước Bài sau

Đại số và Giải tích 11

Chương 5 : Đạo hàm

•Bài 1 : Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm •Bài 2 : Quy tắc tính đạo hàm •Bài 3 : Đạo hàm của hàm số lượng giác •Bài 4 : Vi phân •Bài 5 : Đạo hàm cấp hai

+ Mở rộng xem đầy đủ