Giá trị lượng giác của một cung - Đại số toán lớp 10
1. Giá trị lượng giác của cung
1.1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung \(\widehat{AM}\) có \(sđ \widehat{AM}=\alpha\)
Tung độ \(y=\overline{OK}\) của điểm \(M\) gọi là sin của \(\alpha\) và kí hiệu là \(sin \alpha\).
\(sin \alpha =\overline{OK}\)
Hoành độ \(x=\overline{OH}\) của điểm \(M\) gọi là côsin của \(\alpha\) và kí hiệu là \(cos \alpha\).
\(cos \alpha =\overline{ OH}\)
Nếu \(cos \alpha \neq 0\), tỉ số \(\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\) gọi là tang của \(\alpha\) và kí hiệu là \(tan \alpha\) (người ta còn dùng kí hiệu \(tg \alpha\)).
\(tan \alpha =\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\)
Nếu \(sin \alpha \neq 0\), tỉ số \(\frac{cos\alpha}{sin \alpha}\) gọi là côtang của \(\alpha\) và kí hiệu là \(cot \alpha\) (người ta còn dùng kí hiệu \(cotg \alpha\)).
\(cot \alpha=\frac{cos\alpha}{sin \alpha}\)
- Các giá trị \(sin \alpha,cos \alpha, tan \alpha, cot \alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của cung \(\alpha\).
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.
Chú ý
- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
- Nếu \(0^o \leq \alpha \leq 180^o\) thì các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.
1.2. Hệ quả
- \(sin \alpha\) và \(cos \alpha\) xác định với mọi \(\alpha \in R\). Hơn nữa, ta có
\(sin(\alpha+k2\pi)=sin \alpha ,\forall k\in Z\)
\(cos(\alpha+k2\pi)=cos \alpha ,\forall k\in Z\)
- Vì \(-1\leq \overline{OK}\leq 1;-1\leq \overline{OH}\leq 1\) nên ta có
\(-1\leq \sin \alpha\leq 1\)
\(-1\leq cos \alpha \leq 1\)
- Với mọi \(m\in R\) mà \(-1\leq m \leq 1\) đều tồn tại \(\alpha\) và \(\beta\) sao cho \(sin \alpha=m\) và \(cos \beta =m\).
- \(tan \alpha\) xác định với mọi \(\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)\)
- \(cot \alpha\) xác định với mọi \(\alpha\neq k\pi(k\in Z)\)
- Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung \(\widehat{AM}=\alpha\) trên đường tròn lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
1.3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
2. Ý nghĩa hình học của tang và côtang
2.1. Ý nghĩa hình học của \(tan \alpha\)
\(tan \alpha\) được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AT}\) trên trục \(t'At\). Trục \(t'At\) được gọi là trục tang.
2.2. Ý nghĩa hình học của \(cot \alpha\)
\(cot \alpha\) được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{BS}\) trên trục \(s'Bs\). Trục \(s'Bs\) được gọi là trục côtang.
3. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
3.1. Công thức lượng giác cơ bản
\(sin^2\alpha + cos^2 \alpha=1\)
\(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2 \alpha}\) \(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z\)
\(1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2 \alpha}\) \(\alpha \neq k\pi, k\in Z\)
\(tan \alpha.cot \alpha=1\) \(\alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k\in Z\)
3.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a) Cung đối nhau : \(\alpha\) và \(-\alpha\)
\(cos (-\alpha)=cos\alpha\)
\(sin(-\alpha)=-sin \alpha\)
\(tan (-\alpha)=-tan\alpha\)
\(cot (-\alpha)=-cot \alpha\)
b) Cung bù nhau : \(\alpha\) và \(\pi-\alpha\)
\(sin(\pi-\alpha)=sin \alpha\)
\(cos (\pi-\alpha)=-cos \alpha\)
\(tan (\pi-\alpha)=-tan\alpha\)
\(cot(\pi-\alpha)=-cot \alpha\)
c) Cung hơn kém \(\pi\) : \(\alpha\) và \(\alpha +\pi\)
\(sin(\pi+\alpha)=-sin \alpha\)
\(cos (\pi+\alpha)=-cos \alpha\)
\(tan (\pi+\alpha)=tan \alpha\)
\(cot(\pi+\alpha)=cot \alpha\)
d) Cung phụ nhau: \(\alpha\) và \((\frac{\pi}{2}-\alpha)\)
\(sin (\frac{\pi}{2}-\alpha) =cos \alpha\)
\(cos (\frac{\pi}{2}-\alpha) =sin \alpha\)
\(cos (\frac{\pi}{2}-\alpha) =sin \alpha\)
\(tan (\frac{\pi}{2}-\alpha)= cot \alpha\)
\(cot (\frac{\pi}{2}-\alpha) =tan \alpha\)
+ Mở rộng xem đầy đủ