Bất đẳng thức - Đại số toán lớp 10
1. Ôn tập bất đẳng thức
1.1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng "\(a> b\) " hoặc "\(a< b\) " được gọi là bất đẳng thức.
1.2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề "\(a< b \Rightarrow c< d\) " đúng thì ta nói bất đẳng thức \(c < d\) là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a< b\) và cũng viết là \(a< b \Rightarrow c< d\).
Nếu bất đẳng thức \(a< b\) là hệ quả của bất đẳng thức \(c< d\) và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là \(a< b \Leftrightarrow c< d\).
1.3. Tính chất của bất đẳng thức
- Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số : \(a< b \Leftrightarrow a+c < b+c\)
- Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số : \(a< b \Leftrightarrow ac < bc (c>0)\)
\(a< b \Leftrightarrow ac > bc (c<0)\)
- Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : \(a< b, c< d \Rightarrow a+c < b+d\)
- Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều : \(a< b, c< d \Rightarrow ac < bd (a>0, c>0)\)
- Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa : \(a< b \Leftrightarrow a^{2n+1} < b^{2n+1} (n\in N^*)\)
\(a< b \Leftrightarrow a^{2n} < b^{2n} (n\in N^*, a>0)\)
- Khai căn hai vế của một bất đẳng thức : \(a< b \Leftrightarrow \sqrt{a}< \sqrt{b}(a>0)\)
\(a< b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\)
2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-si)
2.1. Bất đẳng thức Cô-si
Định lí
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình công của chúng.
\(\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}, \forall a,b \geq 0\)
Đẳng thức \(\sqrt{ab}= \frac{a+b}{2}\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\).
2.2. Các hệ quả
Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
\(a+\frac{1}{a}\geq 2, \forall a>0\)
Hệ quả 2
Nếu \(x,y\) cùng dương và có tổng không đổi thì tích \(xy\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x=y\).
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 3
Nếu \(x,y\) cùng dương và có tích không đổi thì tổng \(x+y\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x=y\).
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
- \(\mid x\mid \geq 0,\mid x\mid \geq x,\mid x\mid \geq -x\)
- \(a>0\): \(\mid x\mid \leq a \Leftrightarrow -a \leq x\leq a\)
\(\mid x\mid \leq a \Leftrightarrow x\leq -a hoặc x\geq a\)
- \(\mid a\mid -\mid b\mid \leq \mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid \)
+ Mở rộng xem đầy đủ