Bất đẳng thức - Đại số toán lớp 10
1. Ôn tập bất đẳng thức
1.1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng "a>b " hoặc "a<b " được gọi là bất đẳng thức.
1.2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề "a<b⇒c<d " đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b và cũng viết là a<b⇒c<d.
Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c<d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a<b⇔c<d.
1.3. Tính chất của bất đẳng thức
- Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số : a<b⇔a+c<b+c
- Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số : a<b⇔ac<bc(c>0)
a<b⇔ac>bc(c<0)
- Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : a<b,c<d⇒a+c<b+d
- Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều : a<b,c<d⇒ac<bd(a>0,c>0)
- Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa : a<b⇔a2n+1<b2n+1(n∈N∗)
a<b⇔a2n<b2n(n∈N∗,a>0)
- Khai căn hai vế của một bất đẳng thức : a<b⇔√a<√b(a>0)
a<b⇔3√a<3√b
2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-si)
2.1. Bất đẳng thức Cô-si
Định lí
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình công của chúng.
√ab≤a+b2,∀a,b≥0
Đẳng thức √ab=a+b2 xảy ra khi và chỉ khi a=b.
2.2. Các hệ quả
Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
a+1a≥2,∀a>0
Hệ quả 2
Nếu x,y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 3
Nếu x,y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
- ∣x∣≥0,∣x∣≥x,∣x∣≥−x
- a>0: ∣x∣≤a⇔−a≤x≤a
∣x∣≤a⇔x≤−ahoặcx≥a
- ∣a∣−∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
+ Mở rộng xem đầy đủ