Giá trị lượng giác của một cung - Đại số toán lớp 10

1. Giá trị lượng giác của cung

1.1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung

$\widehat{AM}$ có

$sđ \widehat{AM}=\alpha$

Tung độ

$y=\overline{OK}$ của điểm

$M$ gọi là sin của

$\alpha$ và kí hiệu là

$sin \alpha$ .

$sin \alpha =\overline{OK}$

Hoành độ

$x=\overline{OH}$ của điểm

$M$ gọi là côsin của

$\alpha$ và kí hiệu là

$cos \alpha$ .

$cos \alpha =\overline{ OH}$

Nếu

$cos \alpha \neq 0$ , tỉ số

$\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ gọi là tang của

$\alpha$ và kí hiệu là

$tan \alpha$ (người ta còn dùng kí hiệu

$tg \alpha$ ).

$tan \alpha =\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$

Nếu

$sin \alpha \neq 0$ , tỉ số

$\frac{cos\alpha}{sin \alpha}$ gọi là côtang của

$\alpha$ và kí hiệu là

$cot \alpha$ (người ta còn dùng kí hiệu

$cotg \alpha$ ).

$cot \alpha=\frac{cos\alpha}{sin \alpha}$

- Các giá trị

$sin \alpha,cos \alpha, tan \alpha, cot \alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của cung

$\alpha$ .

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý

- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

- Nếu

$0^o \leq \alpha \leq 180^o$ thì các giá trị lượng giác của góc

$\alpha$ chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.

1.2. Hệ quả

$sin \alpha$ và

$cos \alpha$ xác định với mọi

$\alpha \in R$ . Hơn nữa, ta có

$sin(\alpha+k2\pi)=sin \alpha ,\forall k\in Z$

$cos(\alpha+k2\pi)=cos \alpha ,\forall k\in Z$

- Vì

$-1\leq \overline{OK}\leq 1;-1\leq \overline{OH}\leq 1$ nên ta có

$-1\leq \sin \alpha\leq 1$

$-1\leq cos \alpha \leq 1$

- Với mọi

$m\in R$ mà

$-1\leq m \leq 1$ đều tồn tại

$\alpha$ và

$\beta$ sao cho

$sin \alpha=m$ và

$cos \beta =m$ .

$tan \alpha$ xác định với mọi

$\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$

$cot \alpha$ xác định với mọi

$\alpha\neq k\pi(k\in Z)$

- Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung

$\widehat{AM}=\alpha$ trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

1.3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

2. Ý nghĩa hình học của tang và côtang

2.1. Ý nghĩa hình học của $tan \alpha$

$tan \alpha$ được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ

$\overrightarrow{AT}$ trên trục

$t'At$ . Trục

$t'At$ được gọi là trục tang.

2.2. Ý nghĩa hình học của $cot \alpha$

$cot \alpha$ được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ

$\overrightarrow{BS}$ trên trục

$s'Bs$ . Trục

$s'Bs$ được gọi là trục côtang.

3. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

3.1. Công thức lượng giác cơ bản

$sin^2\alpha + cos^2 \alpha=1$

$1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2 \alpha}$

$\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z$

$1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2 \alpha}$

$\alpha \neq k\pi, k\in Z$

$tan \alpha.cot \alpha=1$

$\alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k\in Z$

3.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau :

$\alpha$ và

$-\alpha$

$cos (-\alpha)=cos\alpha$

$sin(-\alpha)=-sin \alpha$

$tan (-\alpha)=-tan\alpha$

$cot (-\alpha)=-cot \alpha$

b) Cung bù nhau :

$\alpha$ và

$\pi-\alpha$

$sin(\pi-\alpha)=sin \alpha$

$cos (\pi-\alpha)=-cos \alpha$

$tan (\pi-\alpha)=-tan\alpha$

$cot(\pi-\alpha)=-cot \alpha$

c) Cung hơn kém

$\pi$ :

$\alpha$ và

$\alpha +\pi$

$sin(\pi+\alpha)=-sin \alpha$

$cos (\pi+\alpha)=-cos \alpha$

$tan (\pi+\alpha)=tan \alpha$

$cot(\pi+\alpha)=cot \alpha$

d) Cung phụ nhau:

$\alpha$ và

$(\frac{\pi}{2}-\alpha)$

$sin (\frac{\pi}{2}-\alpha) =cos \alpha$

$cos (\frac{\pi}{2}-\alpha) =sin \alpha$

$tan (\frac{\pi}{2}-\alpha)= cot \alpha$

$cot (\frac{\pi}{2}-\alpha) =tan \alpha$

Bài trước Bài sau

Chương 6 : Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

•Bài 1 : Cung và góc lượng giác •Bài 2 : Giá trị lượng giác của một cung •Bài 3 : Công thức lượng giác

+ Mở rộng xem đầy đủ