Phương trình đường thẳng trong không gian - Hình học toán lớp 12

1. Phương trình tham số của đường thẳng

Định lí

Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(\triangle\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và nhận \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) nằm trên \(\triangle\) là có một số thực \(t\) sao cho

                                                 \(\begin{cases}x=x_0+ta_1\\ y=y_0+ta_2\\z=z_0+ta_3 \end{cases}\)

Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng \(\triangle\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) là phương trình có dạng

                                                    \(\begin{cases}x=x_0+ta_1\\ y=y_0+ta_2\\z=z_0+ta_3 \end{cases}\)

trong đó \(t\) là tham số

2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

2.1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

\(d\) song song với \(d'\) kh và chỉ khi \(\begin{cases}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'}\\ M không thuộc d' \end{cases}\)

\(d\) trùng với \(d'\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'}\\ M \in d' \end{cases}\)

2.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

\(d\) và \(d'\) cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn \(t,t'\) sau

                                \(\begin{cases}x_0+ta_1=x'_0+t'a'_1\\ y_0+ta_2=y'_0+t'a'_2\\z_0+ta_3=z'_0+t'a'_3 \end{cases}\)

có đúng một nghiệm.

2.3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

\(d\) và \(d'\) chéo nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a'}\) không cùng phương và hệ phương trình

                             \(\begin{cases}x_0+ta_1=x'_0+t'a'_1\\ y_0+ta_2=y'_0+t'a'_2\\z_0+ta_3=z'_0+t'a'_3 \end{cases}\)

vô nghiệm.