Hệ tọa độ trong không gian - Hình học toán lớp 12

1. Tọa độ của điểm và của vectơ

1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, cho ba trục

$x'Ox,y'Oy,z'Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi

$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vec tơ đơn vị trên các trục

$x'Ox,y'Oy,z'Oz$ .

Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc

$Oxyz$ trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ

$Oxyz$ .

Điểm

$O$ được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng

$(Oxy),(Oyz),(Ozx)$ đôi một vuông góc với nhau được gọi là mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ còn được gọi là không gian

$Oxyz$ .

1.2. Tọa độ của một điểm

Trong không gian

$Oxyz$ , cho một điểm

$M$ tùy ý

Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số

$(x;y;z)$ thỏa mãn :

$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Ta gọi bộ ba số

$(x;y;z)$ đó là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ

$Oxyz$ và viết

$M=(x;y;z)$ hoặc

$M(x;y;z)$

1.3. Tọa độ của vectơ

Trong không gian

$Oxyz$ cho vec tơ

$\overrightarrow{a}$ , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số

$(a_1;a_2;a_3)$ sao cho :

$\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$

Ta gọi bộ ba số

$(a_1;a_2;a_3)$ đó là tọa độ của vectơ

$\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ

$Oxyz$ và viết

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ hoặc

$\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Định lí

Trong không gian

$Oxyz$ cho hai vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ . Ta có

$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)$

$k\overrightarrow{a}=k(a_1;a_2;a_3)=(ka_1;ka_2;ka_3)$ với

$k$ là một số thực

Hệ quả

a) Cho hai vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$

Ta có

$\overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=b_1\\a_2=b_2\\a_3=b_3\end{cases}$

b) Vectơ

$\overrightarrow{0}$ có tọa độ là

$(0;0;0)$

c) Với

$\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$ thì hai vectơ

$\overrightarrow{a}$ và

$\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi có một số

$k$ sao cho :

$a_1=kb_1;a_2=kb_2;a_3=kb_3$

d) Trong không gian

$Oxyz$ , nếu cho hai điểm

$A(x_A;y_A;z_A)$ và

$B(x_B;y_B;z_B)$ thì

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

+) Tọa độ trung điểm

$M$ của đoạn thẳng

$AB$ là

$M ( \frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})$

3. Tích vô hướng

3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian

$Oxyz$ , tích vô hướng của hai vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ được xác định bởi công thức

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vectơ

Cho vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ , ta có :

$\mid \overrightarrow{a} \mid=\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm

$A(x_A;y_A;z_A)$ và

$B(x_B;y_B;z_B)$ , ta có

$AB= \mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt {x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

c) Góc giữa hai vec tơ

Nếu

$\omega$ là góc giữa hai vec tơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ thì

$cos \omega=cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}\sqrt{b^2_1+b^2_2+b^2_3}}$

4. Phương trình mặt cầu

Định lí

Trong không gian

$Oxyz$ , mặt cầu

$(S)$ tâm

$I(a;b;c)$ bán kính

$r$ có phương trình là

$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$

Bài trước Bài sau

Chương 3 : Phương pháp tọa độ trong không gian

•Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian •Bài 2 : Phương trình mặt phẳng •Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian

+ Mở rộng xem đầy đủ