Nguyên hàm - Giải tích toán lớp 12
1. Nguyên hàm và tính chất
1.1. Nguyên hàm
Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(K\).
Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\in K\).
Định lí 1
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x)=F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\).
Định lí 2
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x)+C\), với C là một hằng số.
Kết luận
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì \(F(x)+C\), \(C\in R\) là họ tất cả các nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\).
Kí hiệu
\(\int f(x)dx= F(x)+C\)
Chú ý
Biểu thức \(f(x)dx\) chính là vi phân của nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\).
1.2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
\(\int f'(x)dx= f(x)+C\)
Tính chất 2
\(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)
Tính chất 3
\(\int [f(x)\pm g(x)]dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
1.3. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí 3
Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(K\) đều có nguyên hàm trên \(K\).
1.4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
\(\int 0dx=C\)
\(\int dx=x+C\)
\(\int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C ( \alpha\neq-1)\)
\(\int \frac{1}{x}dx= ln\mid x\mid +C\)
\(\int e^x dx= e^x+C\)
\(\int a^x dx=\frac{a^x}{ln a}+C(a>0,a\neq1)\)
\(\int cosx dx=sinx +C\)
\(\int sinxdx=-cos x+C\)
\(\int\frac{1}{cos^2x}dx=tanx +C\)
\(\int\frac{1}{sin^2x}dx=-cotx +C\)
2. Phương pháp tính nguyên hàm
2.1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1
Nếu \(\int f(u)du= F(x)+C\) và \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C\)
Hệ quả
Với \(x=ax+b\) \((a\neq0)\), ta có
\(\int f(ax+b)dx= \frac{1}{a}F(ax+b)+C\)
2.2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 2
Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì
\(\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx\)
Chú ý
Vì \(v'(x)dx=dv\), \(u'(x)dx=du\), nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng \(\int udv=uv-\int vdu\). Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần.