Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

Tích vô hướng của hai vectơ - Hình học toán lớp 10

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b, đượ xác định bởi công thức sau:
                                                         a.b=|a|.|b|cos(a,b)
Chú ý
a) Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b=0ab.
b) Khi a=b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

2. Các tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a,b,c bất kì và mọi số k ta có:
+) a.b=b.a (tính chất giao hoán)
+) a.(b+c)=a.b+a.c (tính chất phân phối)
+) (ka)b=k(a.b)=a.(kb)
+) a20,a2=0a=0
Nhận xét
(a+b)2=a2+2a.b+b2
(ab)2=a22a.b+b2
(a+b).(ab)=a2b2

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ (O;i;j), cho hai vectơ a=(a1;a2),b=(b1;b2)
Khi đó tích vô hướng a.b là
                                  a.b=a1b1+a2b2
Nhận xét
Hai vectơ a=(a1;a2),b=(b1;b2) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1b1+a2b2=0

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ a=(a1;a2) được tính theo công thức
                                        |a|=a21+a22
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a=(a1;a2) và b=(b1;b2) đều khác 0 thì ta có
                                        cos(a,b)=a.b|a|.|b|=a1b1+a2b2a21+a22.b21+b22
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA) và B(xB,yB) được tính theo công thức:
                                       AB=(xBxA)2+(yByA)2