Tích vô hướng của hai vectơ - Hình học toán lớp 10
1. Định nghĩa
Cho hai vectơ →a và →b đều khác vectơ →0. Tích vô hướng của →a và →b là một số, kí hiệu là →a.→b, đượ xác định bởi công thức sau:
→a.→b=|→a|.|→b|cos(→a,→b)
Chú ý
a) Với →a và →b khác vectơ →0 ta có →a.→b=0⇔→a⊥→b.
b) Khi →a=→b tích vô hướng →a.→a được kí hiệu là →a2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ →a.
2. Các tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ →a,→b,→c bất kì và mọi số k ta có:
+) →a.→b=→b.→a (tính chất giao hoán)
+) →a.(→b+→c)=→a.→b+→a.→c (tính chất phân phối)
+) (k→a)→b=k(→a.→b)=→a.(k→b)
+) →a2≥0,→a2=0⇔→a=→0
Nhận xét
(→a+→b)2=→a2+2→a.→b+→b2
(→a−→b)2=→a2−2→a.→b+→b2
(→a+→b).(→a−→b)=→a2−→b2
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong mặt phẳng tọa độ (O;→i;→j), cho hai vectơ →a=(a1;a2),→b=(b1;b2)
Khi đó tích vô hướng →a.→b là
→a.→b=a1b1+a2b2
Nhận xét
Hai vectơ →a=(a1;a2),→b=(b1;b2) đều khác vectơ →0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1b1+a2b2=0
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ →a=(a1;a2) được tính theo công thức
|→a|=√a21+a22
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu →a=(a1;a2) và →b=(b1;b2) đều khác →0 thì ta có
cos(→a,→b)=→a.→b|→a|.|→b|=a1b1+a2b2√a21+a22.√b21+b22
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA) và B(xB,yB) được tính theo công thức:
AB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
+ Mở rộng xem đầy đủ