Mặt cầu - Hình học toán lớp 12
1. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu
1.1. Mặt cầu
Tập hợp các điểm \(M\) trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng không đổi bằng \(r(r>0)\) được gọi là mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).
1.2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu
Cho mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\) và \(A\) là một điểm bất kì trong không gian.
- Nếu \(OA=r\) thì ta nói điểm nằm trên mặt cầu \(S(O;r)\)
- Nếu \(OA< r\) thì ta nói điểm nằm trong mặt cầu \(S(O;r)\)
- Nếu \(OA> r\) thì ta nói điểm nằm ngoài mặt cầu \(S(O;r)\)
+) Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu \(S(O;r)\) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).
1.3. Biểu diễn mặt cầu
Người ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.
1.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
2. Giao của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu \(S(O;r)\) và mặt phẳng \((P)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(h=OH\) là khoảng cách từ \(O\) tới mặt phẳng \((P)\)
+) \(h>r\) : mặt phẳng \((P)\) không có điểm chung với mặt cầu
+) \(h=r\) : mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với mặt cầu tại \(H\)
Ta có : Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(O;r)\) tại điểm \(H\) là \((P)\) vuông góc với bán kính \(OH\) tại điểm \(H\) đó.
+) \(h< r\) : mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm \(H\), bán kính \(r'=\sqrt{r^2-h^2}\)
3. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu \(S(O;r)\) và đường thẳng \(\triangle\)
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(O\) trên \(\triangle\) và \(d=OH\) là khoảng cách từ \(O\) tới \(\triangle\).
+) \(d>r\) : \(\triangle\) không cắt mặt cầu
+) \(d=r\) : điểm \(H\) thuộc mặt cầu
Ta có : Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\triangle\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(O;r)\) tại điểm \(H\) là \(\triangle\)vuông góc với bán kính \(OH\) tại điểm \(H\) đó.
+) \(d< r\): \(\triangle\) cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt
4. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt cầu bán kính \(r\) có diện tích là : \(S=4\pi r^2\)
Khối cầu bán kính \(r\) có thể tích là : \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)
+ Mở rộng xem đầy đủ