Hàm số mũ. Hàm số lôgarit - Giải tích toán lớp 12

1. Hàm số mũ

1.1. Định nghĩa

Cho số thực dương $a$ khác 1.

Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.

1.2. Đạo hàm của hàm số mũ

Định lí 1

Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm tại mọi $x$ và

                                      $(e^x)'=e^x$

Định lí 2

Hàm số $y=a^x(a>0,a\neq1)$ có đạo hàm tại mọi $x$ và 

                                       $(a^x)'=a^xlna$

Chú ý

Đối với hàm hợp $y= a^{u(x)}$, ta có:  $(a^u)'=a^ulna.u'$

1.3. Khảo sát hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\neq1)$

- Tập xác định : $R$

- Đạo hàm: $y'=a^xlna$

- Sự biến thiên :

+) $a>1$: hàm số luôn đồng biến

+) $0< a <1$: hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận : Trục $Ox$ là tiệm cận ngang

- Đồ thị : đi qua điểm $(0;1)$ và $(1;a)$, nằm phía trên trục hoành $(y=a^x>0,\forall x\in R)$

2. Hàm số lôgarit

2.1. Định nghĩa

Cho số thực dương $a$ khác 1.

Hàm số $y=log _ax$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số $a$.

2.2. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Định lí 3

Hàm số $y=log _ax(a>0,a\neq1)$ có đạo hàm tại mọi $x>0$ và

                            $(log _ax)'=\frac{1}{xlna}$

Chú ý

Đối với hàm hợp $y=log _au(x)$, ta có:

                             $log _au(x)=\frac{u'}{ulna}$

2.3. Khảo sát hàm số lôgarit $y=log _ax(a>0,a\neq1)$

- Tập xác định: $(0;+\infty)$

- Đạo hàm : $y'=\frac{1}{xlna}$

- Chiều biến thiên :

+) $a>1$: hàm số luôn đồng biến

+) $0 < a<1$: hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận : trục $Oy$ là tiệm cận đứng

- Đồ thị: đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$, nằm phía bên phải trục tung

Nhận xét

Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log _ax(a>0,a\neq1)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.

Đạo hàm của một số hàm lũy thừa, mũ, lôgarit

- Hàm sơ cấp 

$(x^\alpha)'=\alpha.x^{\alpha-1}$

$(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$

$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(e^x)'=e^x$

$(a^x)'=a^xlna$

$(ln\mid x\mid )'=\frac{1}{x}$

$(log_a\mid x\mid )'=\frac{1}{xlna}$

- Hàm hợp $(u=u(x))$

$(u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}.u'$

$(\frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}$

$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$

$(e^u)'=e^u.u'$

$(a^u)'=a^ulna.u'$

$(ln\mid u\mid )'=\frac{u'}{u}$

$(log_a\mid u\mid )'=\frac{u'}{ulna}$