Hàm số mũ. Hàm số lôgarit - Giải tích toán lớp 12
1. Hàm số mũ
1.1. Định nghĩa
Cho số thực dương \(a\) khác 1.
Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).
1.2. Đạo hàm của hàm số mũ
Định lí 1
Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và
\((e^x)'=e^x\)
Định lí 2
Hàm số \(y=a^x(a>0,a\neq1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và
\((a^x)'=a^xlna\)
Chú ý
Đối với hàm hợp \(y= a^{u(x)}\), ta có: \((a^u)'=a^ulna.u'\)
1.3. Khảo sát hàm số mũ \(y=a^x(a>0,a\neq1)\)
- Tập xác định : \(R\)
- Đạo hàm: \(y'=a^xlna\)
- Sự biến thiên :
+) \(a>1\): hàm số luôn đồng biến
+) \(0< a <1\): hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận : Trục \(Ox\) là tiệm cận ngang
- Đồ thị : đi qua điểm \((0;1)\) và \((1;a)\), nằm phía trên trục hoành \((y=a^x>0,\forall x\in R)\)
2. Hàm số lôgarit
2.1. Định nghĩa
Cho số thực dương \(a\) khác 1.
Hàm số \(y=log _ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a\).
2.2. Đạo hàm của hàm số lôgarit
Định lí 3
Hàm số \(y=log _ax(a>0,a\neq1)\) có đạo hàm tại mọi \(x>0\) và
\((log _ax)'=\frac{1}{xlna}\)
Chú ý
Đối với hàm hợp \(y=log _au(x)\), ta có:
\(log _au(x)=\frac{u'}{ulna}\)
2.3. Khảo sát hàm số lôgarit \(y=log _ax(a>0,a\neq1)\)
- Tập xác định: \((0;+\infty)\)
- Đạo hàm : \(y'=\frac{1}{xlna}\)
- Chiều biến thiên :
+) \(a>1\): hàm số luôn đồng biến
+) \(0 < a<1\): hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận : trục \(Oy\) là tiệm cận đứng
- Đồ thị: đi qua các điểm \((1;0)\) và \((a;1)\), nằm phía bên phải trục tung
Nhận xét
Đồ thị hàm số \(y=a^x\) và \(y=log _ax(a>0,a\neq1)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=x\).
Đạo hàm của một số hàm lũy thừa, mũ, lôgarit
- Hàm sơ cấp
\((x^\alpha)'=\alpha.x^{\alpha-1}\)
\((\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}\)
\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\((e^x)'=e^x\)
\((a^x)'=a^xlna\)
\((ln\mid x\mid )'=\frac{1}{x}\)
\((log_a\mid x\mid )'=\frac{1}{xlna}\)
- Hàm hợp \((u=u(x))\)
\((u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}.u'\)
\((\frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}\)
\((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\((e^u)'=e^u.u'\)
\((a^u)'=a^ulna.u'\)
\((ln\mid u\mid )'=\frac{u'}{u}\)
\((log_a\mid u\mid )'=\frac{u'}{ulna}\)