Giải bài 26 trang 115 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB=2cm,OA=4cm.
Hướng dẫn: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
− Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
− Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
− Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
a) Ta có: AB=AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra ΔABC cân tại A.
Lại có ^BAO=^CAO (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AO⊥BC.
b) Gọi I là giao điểm của AO và BC.
Suy ra BI=IC (định lí đường kính và dây cung).
Xét ΔCBD có :
CI=IB
CO=OD (cùng bằng bán kính)
⇒BD//IO (IO là đường trung bình của ΔBCD)
⇒BD//AO.
c) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAC:
OA2=AB2+OB2⇒AB=√OA2−OB2=√42−22 =2√3 (cm)
Trong tam giác vuông OAB có
sin^OAB=OBOA=24=12⇒^OAB=30o⇒^BAC=2^OAB=2.30o=60o
Tam giác ABC cân tại A có ˆA=60o nên là tam giác đều.
Do đó AB=BC=AC=2√3(cm).