Giải bài 24 trang 111 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm,AB=24cm. Tính độ dài OC.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh BC⊥OB.
b) Tính OH rồi suy ra OC (áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn).
a) Gọi H là giao điểm của OC và AB
Ta có OA=OB ( cùng bằng bán kính (O))
Suy ra ΔAOB cân tại O
Suy ra OH là đường cao nên cũng là đường phân giác.
Do đó: \widehat{AOC}=\widehat{BOC}
Xét hai ΔOBC và ΔOAC có:
OB = OC (cùng bằng bán kính (O))
\widehat{AOC}=\widehat{BOC}
OC cạnh chung
\Rightarrow ΔOBC = ΔOAC (c.g.c)
\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OAC}={{90}^{o}}
Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm)
b) Ta có:
AH=\dfrac{AB}{2}=12\,\left( cm \right) (định lí đường kính và dây cung)
Áp dụng định li Pytago trong tam giác vuông OHB, ta có:
\begin{aligned} & O{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+H{{O}^{2}} \\\\ & \Rightarrow OH=\sqrt{O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\left( cm \right) \\ \end{aligned}
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác OHB, ta có
\cos \widehat{HOB}=\dfrac{OH}{OB}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}
Tương tự, \cos \widehat{COB}=\dfrac{OB}{OC}
\Rightarrow OC=\dfrac{OB}{\cos \widehat{COB}}=15:\dfrac{3}{5}=25\,\left( cm \right)