Hệ tọa độ trong không gian - Hình học toán lớp 12

1. Tọa độ của điểm và của vectơ

1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, cho ba trục

$x'Ox,y'Oy,z'Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi

$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vec tơ đơn vị trên các trục

$x'Ox,y'Oy,z'Oz$ .

Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc

$Oxyz$ trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ

$Oxyz$ .

Điểm

$O$ được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng

$(Oxy),(Oyz),(Ozx)$ đôi một vuông góc với nhau được gọi là mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ còn được gọi là không gian

$Oxyz$ .

1.2. Tọa độ của một điểm

Trong không gian

$Oxyz$ , cho một điểm

$M$ tùy ý

Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số

$(x;y;z)$ thỏa mãn :

$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Ta gọi bộ ba số

$(x;y;z)$ đó là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ

$Oxyz$ và viết

$M=(x;y;z)$ hoặc

$M(x;y;z)$

1.3. Tọa độ của vectơ

Trong không gian

$Oxyz$ cho vec tơ

$\overrightarrow{a}$ , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số

$(a_1;a_2;a_3)$ sao cho :

$\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$

Ta gọi bộ ba số

$(a_1;a_2;a_3)$ đó là tọa độ của vectơ

$\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ

$Oxyz$ và viết

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ hoặc

$\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Định lí

Trong không gian

$Oxyz$ cho hai vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ . Ta có

a)

$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)$

b)

$k\overrightarrow{a}=k(a_1;a_2;a_3)=(ka_1;ka_2;ka_3)$ với

$k$ là một số thực

Hệ quả

a) Cho hai vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$

Ta có

$\overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=b_1\\a_2=b_2\\a_3=b_3\end{cases}$

b) Vectơ

$\overrightarrow{0}$ có tọa độ là

$(0;0;0)$

c) Với

$\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$ thì hai vectơ

$\overrightarrow{a}$ và

$\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi có một số

$k$ sao cho :

$a_1=kb_1;a_2=kb_2;a_3=kb_3$

d) Trong không gian

$Oxyz$ , nếu cho hai điểm

$A(x_A;y_A;z_A)$ và

$B(x_B;y_B;z_B)$ thì

+)

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

+) Tọa độ trung điểm

$M$ của đoạn thẳng

$AB$ là

$M ( \frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})$

3. Tích vô hướng

3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian

$Oxyz$ , tích vô hướng của hai vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ được xác định bởi công thức

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vectơ

Cho vectơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ , ta có :

$\mid \overrightarrow{a} \mid=\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm

$A(x_A;y_A;z_A)$ và

$B(x_B;y_B;z_B)$ , ta có

$AB= \mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt {x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

c) Góc giữa hai vec tơ

Nếu

$\omega$ là góc giữa hai vec tơ

$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và

$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ thì

$cos \omega=cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}\sqrt{b^2_1+b^2_2+b^2_3}}$

4. Phương trình mặt cầu

Định lí

Trong không gian

$Oxyz$ , mặt cầu

$(S)$ tâm

$I(a;b;c)$ bán kính

$r$ có phương trình là

$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$

Mục lục Lớp 12 theo chương •Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài tập Giải tích 12 •Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12 •Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920 •Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị - Phần 5: Di truyền học •Địa Lý Việt Nam - Giải bài tập SGK Địa lý 12 •Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 1: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12 •Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000 •Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá - Phần 6: Tiến hoá •Chương 1: Động lực học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật - Phần 7: Sinh thái học •Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit - Bài tập Giải tích 12 •Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 •Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920 •Địa Lý Tự Nhiên - Giải bài tập SGK Địa lý 12 •Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 2: Sóng cơ và sóng âm - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền - Phần 5: Di truyền học •Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000 •Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12 •Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất - Phần 6: Tiến hoá •Chương 2: Quần xã sinh vật - Phần 7: Sinh thái học •Chương 2: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập Giải tích 12 •Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 •Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920 •Địa Lý Dân Cư - Giải bài tập SGK Địa lý 12 •Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 3: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 3: Di truyền học quần thể - Phần 5: Di truyền học •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000 •Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12 •Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường - Phần 7: Sinh thái học •Chương 3: Sóng cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 4: Số phức - Bài tập Giải tích 12 •Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 4: Số phức - Giải tích 12 •Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920 •Địa Lý Kinh Tế - Giải bài tập SGK Địa lý 12 •Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 4: Ứng dụng di truyền học - Phần 5: Di truyền học •Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000 •Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000 •Chương 5: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920 •Địa Lý Địa Phương - Giải bài tập SGK Địa lý 12 •Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 5: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 5: Di truyền học người - Phần 5: Di truyền học •Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000 •Chương 6: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 6: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 7: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 7: Crom - Sắt - Đồng - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 7: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12 •Chương 9: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao •Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao •Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12 •Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

Chương 3 : Phương pháp tọa độ trong không gian

•Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian •Bài 2 : Phương trình mặt phẳng •Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian

+ Mở rộng xem đầy đủ