Hệ tọa độ trong không gian - Hình học toán lớp 12
1. Tọa độ của điểm và của vectơ
1.1. Hệ tọa độ
Trong không gian, cho ba trục x′Ox,y′Oy,z′Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi →i,→j,→k lần lượt là các vec tơ đơn vị trên các trục x′Ox,y′Oy,z′Oz.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz),(Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
1.2. Tọa độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý
Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số (x;y;z) thỏa mãn : →OM=x→i+y→j+z→k
Ta gọi bộ ba số (x;y;z) đó là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z)
1.3. Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho vec tơ →a, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1;a2;a3) sao cho : →a=a1→i+a2→j+a3→k
Ta gọi bộ ba số (a1;a2;a3) đó là tọa độ của vectơ →a đối với hệ tọa độ Oxyz và viết →a=(a1;a2;a3) hoặc →a(a1;a2;a3)
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lí
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ →a=(a1;a2;a3) và →b=(b1;b2;b3). Ta có
a) →a±→b=(a1±b1;a2±b2;a3±b3)
b) k→a=k(a1;a2;a3)=(ka1;ka2;ka3) với k là một số thực
Hệ quả
a) Cho hai vectơ →a=(a1;a2;a3) và →b=(b1;b2;b3)
Ta có →a=→b⇔{a1=b1a2=b2a3=b3
b) Vectơ →0 có tọa độ là (0;0;0)
c) Với →b≠→0 thì hai vectơ →a và →b cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho : a1=kb1;a2=kb2;a3=kb3
d) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm A(xA;yA;zA)và B(xB;yB;zB) thì
+) →AB=→OB−→OA=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)
+) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)
3. Tích vô hướng
3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ →a=(a1;a2;a3) và →b=(b1;b2;b3) được xác định bởi công thức
→a→b=a1b1+a2b2+a3b3
3.2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vectơ
Cho vectơ →a=(a1;a2;a3), ta có : ∣→a∣=√a21+a22+a23
b) Khoảng cách giữa hai điểm
Cho hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB), ta có
AB=∣→AB∣=√xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
c) Góc giữa hai vec tơ
Nếu ω là góc giữa hai vec tơ →a=(a1;a2;a3) và →b=(b1;b2;b3) thì
cosω=cos(→a,→b)=a1b1+a2b2+a3b3√a21+a22+a23√b21+b22+b23
4. Phương trình mặt cầu
Định lí
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phương trình là
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2
Mục lục Lớp 12 theo chương
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài tập Giải tích 12
Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12
Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị - Phần 5: Di truyền học
Địa Lý Việt Nam - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 1: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12
Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá - Phần 6: Tiến hoá
Chương 1: Động lực học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit - Bài tập Giải tích 12
Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12
Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Tự Nhiên - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 2: Sóng cơ và sóng âm - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền - Phần 5: Di truyền học
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12
Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất - Phần 6: Tiến hoá
Chương 2: Quần xã sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
Chương 2: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập Giải tích 12
Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12
Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Dân Cư - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 3: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 3: Di truyền học quần thể - Phần 5: Di truyền học
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12
Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường - Phần 7: Sinh thái học
Chương 3: Sóng cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 4: Số phức - Bài tập Giải tích 12
Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 4: Số phức - Giải tích 12
Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Kinh Tế - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 4: Ứng dụng di truyền học - Phần 5: Di truyền học
Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 5: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Địa Phương - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 5: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 5: Di truyền học người - Phần 5: Di truyền học
Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 6: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 6: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 7: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 7: Crom - Sắt - Đồng - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 7: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 9: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ