Giải bài 3 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số y=x3+ax2+bx+1
a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1;2) và B(−2;−1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
c) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=0,x=0,x=1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.
Gợi ý:
Công thức tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường y=0,x=0,x=1 là: V=π1∫0(x3+x2−x+1)2dx
a) Hai điểm A(1;2) và B(−2;−1) thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của A và B thỏa mãn phương trình
{1+a+b+1=2−8+4a−2b+1=−1⇔{a+b=04a−2b=6⇔{a=1b=−1
b) Với a=1,b=−1 ta có y=x3+x2−x+1
* Tập xác định: D=R
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
y′=3x2+2x−1y′=0⇔[x=−1x=13
Hàm số đồng biến trên (−1;13).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (13;+∞).
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x=−1;yCĐ=2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=13;yCT=2227.
+) Giới hạn
lim
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
c) Thể tích vật tròn xoay cần tìm là
\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}dx} \\ & =\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{6}}+2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2x+1 \right)dx} \\ & =\pi \left( \dfrac{{{x}^{7}}}{7}+\dfrac{{{x}^{6}}}{3}-\dfrac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \\\\ \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\\\ \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\pi \left( \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+1-1+1 \right) \\ & =\dfrac{134\pi }{105} \,(\text{đvtt})\\ \end{aligned}