Giải bài 3 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12

Cho hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+1$

a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(1;\,2)$ và $B(-2;\,-1)$ .

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.

c) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=0,\,x=0,\,x=1$ và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.

Lời giải:

Gợi ý:
Công thức tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường $y=0,\,x=0,\,x=1$ là: $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}dx}$

a) Hai điểm $A(1;\,2)$ và $B(-2;\,-1)$ thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của A và B thỏa mãn phương trình

$\left\{ \begin{aligned} & 1+a+b+1=2 \\ & -8+4a-2b+1=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a+b=0 \\ & 4a-2b=6 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=1 \\ & b=-1 \\ \end{aligned} \right.$

b) Với $a=1,\,b=-1$ ta có $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=3{{x}^{2}}+2x-1 \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & x=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right.$

Hàm số đồng biến trên $\left(-1; \,\dfrac{1}{3}\right)$ .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;\,-1)$ và $\left(\dfrac{1}{3};\,+\infty\right)$ .

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại ${x}=-1;{{y}_{CĐ}}=2$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}}=\dfrac{1}{3};\,{{y}_{CT}}=\dfrac{22}{27}$ .

+) Giới hạn

$\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)=-\infty$

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

c) Thể tích vật tròn xoay cần tìm là

$\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}dx} \\ & =\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{6}}+2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2x+1 \right)dx} \\ & =\pi \left( \dfrac{{{x}^{7}}}{7}+\dfrac{{{x}^{6}}}{3}-\dfrac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \\\\ \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\\\ \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\pi \left( \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+1-1+1 \right) \\ & =\dfrac{134\pi }{105} \,(\text{đvtt})\\ \end{aligned}$

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Ôn tập cuối năm giải tích 12 cơ bản

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ