Giải bài 11 trang 46 – SGK môn Giải tích lớp 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ .
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ , đường thẳng $y=2x+m$ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M$ và $N$ .
c) Xác định $m$ sao cho độ dài $MN$ là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm $S$ bất kì của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại $P$ và $Q$ . Chứng minh rằng $S$ là trung điểm của $PQ$ .

Lời giải:

a) $y=\dfrac{x+3}{x+1}$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{- 1 \right\}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=\dfrac{-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne -1$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)\,\text{và}\,\left(-1;\,+\infty \right)$

+) Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị

+) Tiệm cận

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x+3}{x+1}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=1$ nên đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang.

$\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{x+3}{x+1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{x+3}{x+1}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm

$(-3;\,0)$ ,

cắt trục Oy tại điểm

$(0;\,3)$ .

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng $y=2x+m$ là:

$\dfrac{x+3}{x+1}=2x+m \\ \Rightarrow x+3= 2{{x}^{2}}+2x+mx+m \\ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+ \left( 1+m \right)x-3+m=0 \\ \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+24 -8m \\\,\,\,\,=m^2-6m+25 \\\,\,\,\,=(m-3)^2+16>0,\,\forall m$

Vậy đường thẳng $y=2x+m$ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2};\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2}$

c) Ta có

$M{{N}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+ {{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}} \\ ={{\left( {{x}_{1}} -{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{1}}+m-2{{x}_{2}}-m \right)}^{2}} \\ = 5{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}= 5{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-20{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ = 5{{\left( -\dfrac{m+1}{2} \right)}^{2}}-20.\dfrac{m-3}{2} \\ =\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}-6m+25 \right) \\ =\dfrac{5}{4}\left[ {{\left( m-3 \right)}^{2}}+16 \right]\ge 20,\,\forall m$

Đẳng thức xảy ra khi $m=3$ và $\min \,MN=2\sqrt{5}$ .

d) Gọi $S\left( {{x}_{o}};\,{{y}_{o}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm trên (C).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại S có dạng $y=\dfrac{-2}{{{\left( {{x}_{o}}+1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{o}} \right)+\dfrac{{{x}_{o}}+3}{{{x}_{o}}+1}$

Ta có ${{x}_{P}}=-1\Rightarrow {{y}_{P}}=1+\dfrac{4}{{{x}_{o}}+1}$

${{y}_{Q}}=1\Rightarrow {{x}_{Q}}=\left( 1-\dfrac{{{x}_{o}}+3}{{{x}_{o}}+1} \right):\left( \dfrac{-2}{{{\left( {{x}_{o}}+1 \right)}^{2}}} \right)+{{x}_{o}}=2{{x}_{o}}+1 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{P}}+{{x}_{Q}}=2{{x}_{o}}=2{{x}_{S}} \\ &{{y}_{P}}+{{y}_{Q}}=1+\dfrac{4}{{{x}_{o}}+1}+1=2\dfrac{{{x}_{o}}+3}{{{x}_{o}}+1}=2{{y}_{S}} \\ \end{align} \right.$

Vậy S là trung điểm của PQ.

Ghi nhớ:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$ có dạng: $y=f'(x)(x-x_0)+y_0$

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Ôn tập chương 1 Giải tích 12 cơ bản

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ