Giải bài 1 trang 145 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số
f(x)=ax2−2(a+1)x+a+2 (a≠0).
a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x)=0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.
a) f(x)=ax2−2(a+1)x+a+2
f(x)=0⇔ax2−2(a+1)x+a+2=0Δ′=(a+1)2−a(a+2)=1>0
Vậy phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực.
Áp dụng định lí Vi - ét ta có:
S=2(a+1)a;P=a+2a.
b) Xét S=2(a+1)a
* Tập xác định: D=R∖{0}
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
S′(a)=−2a2<0,∀a≠0
Hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và (0;+∞).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
lima→±∞2(a+1)a=2 nên đường S=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lima→0+2(a+1)a=+∞;lima→0−2(a+1)a=−∞ nên đường a=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
Xét P=a+2a
* Tập xác định: D=R∖{0}
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
P′(a)=−2a2<0,∀a≠0
Hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và (0;+∞).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
lima→±∞a+2a=1 nên đường P=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lima→0+a+2a=+∞;lima→0−a+2a=−∞ nên đường a=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
Nhận xét:
Phương trình bậc hai một ẩn luôn có nghiệm thực khiΔ>0(Δ′>0)