Giải bài 1 trang 145 – SGK môn Giải tích lớp 12

Cho hàm số

$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+a+2$ $(a\ne 0).$

a) Chứng tỏ rằng phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình $f(x)=0$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.

Lời giải:

a) $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+a+2$

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow a{{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+a+2=0 \\ \Delta '={{\left( a+1 \right)}^{2}}-a\left( a+2 \right)=1>0$

Vậy phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm thực.

Áp dụng định lí Vi - ét ta có:

$S=\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a};\,P=\dfrac{a+2}{a}$ .

b) Xét $S=\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$S'\left( a \right)=-\dfrac{2}{{{a}^{2}}}<0,\,\forall a\ne 0$

Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;\,0)$ và $(0;\,+\infty)$ .

Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\lim\limits_{a\to \pm \infty }\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=2$ nên đường $S=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim\limits_{a\to {{0}^{+}}}\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=+\infty ;\,\lim\limits_{a\to {{0}^{-}}}\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=-\infty$ nên đường $a=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

Xét $P=\dfrac{a+2}{a}$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$P'\left( a \right)=-\dfrac{2}{{{a}^{2}}}<0,\,\forall a\ne 0$

Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;\,0)$ và $(0;\,+\infty)$ .

Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\lim\limits_{a\to \pm \infty }\,\dfrac{a+2 }{a}=1$ nên đường $P=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim\limits_{a\to {{0}^{+}}}\,\dfrac{a+2}{a}=+\infty ;\,\lim\limits_{a\to {{0}^{-}}}\,\dfrac{a+2}{a}=-\infty$ nên đường $a=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

Nhận xét:
Phương trình bậc hai một ẩn luôn có nghiệm thực khi $\Delta > 0 \,\,(\Delta ' > 0)$

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Ôn tập cuối năm giải tích 12 cơ bản

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ