Giải bài 1 trang 145 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số
f(x)=ax2−2(a+1)x+a+2 (a≠0).
a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x)=0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.
a) f(x)=ax2−2(a+1)x+a+2
f(x)=0⇔ax2−2(a+1)x+a+2=0Δ′=(a+1)2−a(a+2)=1>0
Vậy phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực.
Áp dụng định lí Vi - ét ta có:
S=2(a+1)a;P=a+2a.
b) Xét S=2(a+1)a
* Tập xác định: D=R∖{0}
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
S′(a)=−2a2<0,∀a≠0
Hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và (0;+∞).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
lim nên đường S=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\lim\limits_{a\to {{0}^{+}}}\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=+\infty ;\,\lim\limits_{a\to {{0}^{-}}}\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=-\infty nên đường a=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
Xét P=\dfrac{a+2}{a}
* Tập xác định: D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
P'\left( a \right)=-\dfrac{2}{{{a}^{2}}}<0,\,\forall a\ne 0
Hàm số nghịch biến trên (-\infty;\,0) và (0;\,+\infty).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
\lim\limits_{a\to \pm \infty }\,\dfrac{a+2 }{a}=1 nên đường P=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\lim\limits_{a\to {{0}^{+}}}\,\dfrac{a+2}{a}=+\infty ;\,\lim\limits_{a\to {{0}^{-}}}\,\dfrac{a+2}{a}=-\infty nên đường a=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
Nhận xét:
Phương trình bậc hai một ẩn luôn có nghiệm thực khi\Delta > 0 \,\,(\Delta ' > 0)