Giải bài 6, 7 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12

6. Chứng minh rằng

a) Phần thực của số phức $z$ bằng $\dfrac{1}{2}\left( z+\overline{z} \right)$ , phần ảo của số phức $z$ bằng $\dfrac{1}{2i}\left( z-\overline{z} \right)$ .

b) Số phức $z$ là số ảo khi và chỉ khi $z=-\overline{z}$ ;

c) Với mọi số phức $z,z'$ , ta có $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'},\overline{zz'}=\overline{z}.\overline{z'}$ , và nếu $z\ne 0$ thì $\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}=\overline{\left( \dfrac{z'}{z} \right)}$ .

7. Chứng minh rẳng với mọi số nguyên m > 0, ta có

${{i}^{4m}}=1;{{i}^{4m+1}}=i;{{i}^{4m+2}}=-1;{{i}^{4m+3}}=-i$ .

Lời giải:

6. Giả sử số phức $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi,$

a) Ta có

$\dfrac{1}{2}\left( z+\overline{z} \right)=\dfrac{1}{2}\left( a+bi+a-bi \right)=a \\ \dfrac{1}{2i}\left( z-\overline{z} \right)=\dfrac{1}{2i}\left( a+bi-a+bi \right)=b$

b) $z=-\overline{z}\Leftrightarrow a+bi=-a+bi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-a \\ & b=b \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=0 \\ & b\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \right.$

Suy ra z là số thuần ảo.

c) Giả sử số phức $z'=c+di\Rightarrow \overline{z'}=c-di$

Ta có

$\begin{aligned} z+z'&=a+bi+c+di \\ & =\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i \\ \end{aligned}$

$\Rightarrow \overline{z+z'}=\left( a+c \right)-\left( b+d \right)i$

$\begin{aligned} \overline{z}+\overline{z'}&=a-bi+c-di \\ & =\left( a+c \right)-\left( b+d \right)i \\ \end{aligned}$

Suy ra $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ .

$\begin{aligned} zz'&=\left( a+bi \right)\left( c+di \right) \\ & =\left( ac-db \right)+\left( ad+bc \right)i \\ \end{aligned}$

$\Rightarrow \overline{zz'}=\left( ac-db \right)-\left( ad+bc \right)i$

$\begin{aligned} \overline{z}.\overline{z'}&=\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =\left( ac-db \right)-\left( ad+bc \right)i \\ \end{aligned}$

Suy ra $\overline{zz'}=\overline{z}.\overline{z'}$ .

$\begin{aligned} \dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}&=\dfrac{c-di}{a-bi} \\ & =\dfrac{\left( c-di \right)\left( a+bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( ac+bd \right)+\left( bc-ad \right)i}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{z'}{z}&=\dfrac{c+di}{a+bi} \\ & =\dfrac{\left( c+di \right)\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( ac+bd \right)+\left( ad-bc \right)i}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{aligned}$

$\Rightarrow \overline{\left( \dfrac{z'}{z} \right)}=\dfrac{\left( ac+bd \right)+\left( bc-ad \right)i}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Suy ra $\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}=\overline{\left( \dfrac{z'}{z} \right)}$ .

Vậy các đẳng thức được chứng minh.

7. Ta có:

$\begin{aligned} & {{i}^{4m}}={{\left[ \left( {{i}^{2}} \right) \right]}^{2m}}={{\left[ {{\left( -1 \right)}^{2}} \right]}^{m}}={{1}^{m}}=1 \\ & {{i}^{4m+1}}=i.{{i}^{4m}}=i.1=i \\ & {{i}^{4m+2}}=i.{{i}^{4m+1}}=i.i=-1 \\ & {{i}^{4m+3}}=i.{{i}^{4m+2}}=i.\left( -1 \right)=-i \\ \end{aligned}$

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 1: Số phức

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ