Giải bài 6, 7 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12
6. Chứng minh rằng
a) Phần thực của số phức \(z\) bằng \(\dfrac{1}{2}\left( z+\overline{z} \right)\), phần ảo của số phức \(z\) bằng \(\dfrac{1}{2i}\left( z-\overline{z} \right)\).
b) Số phức \(z\) là số ảo khi và chỉ khi \(z=-\overline{z}\);
c) Với mọi số phức \(z,z'\) , ta có \(\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'},\overline{zz'}=\overline{z}.\overline{z'}\), và nếu \(z\ne 0\) thì \(\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}=\overline{\left( \dfrac{z'}{z} \right)}\).
7. Chứng minh rẳng với mọi số nguyên m > 0, ta có
\({{i}^{4m}}=1;{{i}^{4m+1}}=i;{{i}^{4m+2}}=-1;{{i}^{4m+3}}=-i \).
6. Giả sử số phức \(z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi,\)
a) Ta có
\(\dfrac{1}{2}\left( z+\overline{z} \right)=\dfrac{1}{2}\left( a+bi+a-bi \right)=a \\ \dfrac{1}{2i}\left( z-\overline{z} \right)=\dfrac{1}{2i}\left( a+bi-a+bi \right)=b \)
b) \(z=-\overline{z}\Leftrightarrow a+bi=-a+bi\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-a \\ & b=b \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=0 \\ & b\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \right. \)
Suy ra z là số thuần ảo.
c) Giả sử số phức \(z'=c+di\Rightarrow \overline{z'}=c-di\)
Ta có
\( \begin{aligned} z+z'&=a+bi+c+di \\ & =\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i \\ \end{aligned} \)
\(\Rightarrow \overline{z+z'}=\left( a+c \right)-\left( b+d \right)i \)
\(\begin{aligned} \overline{z}+\overline{z'}&=a-bi+c-di \\ & =\left( a+c \right)-\left( b+d \right)i \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\).
\(\begin{aligned} zz'&=\left( a+bi \right)\left( c+di \right) \\ & =\left( ac-db \right)+\left( ad+bc \right)i \\ \end{aligned} \)
\(\Rightarrow \overline{zz'}=\left( ac-db \right)-\left( ad+bc \right)i \)
\( \begin{aligned} \overline{z}.\overline{z'}&=\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =\left( ac-db \right)-\left( ad+bc \right)i \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(\overline{zz'}=\overline{z}.\overline{z'}\).
\(\begin{aligned} \dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}&=\dfrac{c-di}{a-bi} \\ & =\dfrac{\left( c-di \right)\left( a+bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( ac+bd \right)+\left( bc-ad \right)i}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \dfrac{z'}{z}&=\dfrac{c+di}{a+bi} \\ & =\dfrac{\left( c+di \right)\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( ac+bd \right)+\left( ad-bc \right)i}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{aligned} \)
\(\Rightarrow \overline{\left( \dfrac{z'}{z} \right)}=\dfrac{\left( ac+bd \right)+\left( bc-ad \right)i}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \)
Suy ra \(\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}=\overline{\left( \dfrac{z'}{z} \right)}\).
Vậy các đẳng thức được chứng minh.
7. Ta có:
\(\begin{aligned} & {{i}^{4m}}={{\left[ \left( {{i}^{2}} \right) \right]}^{2m}}={{\left[ {{\left( -1 \right)}^{2}} \right]}^{m}}={{1}^{m}}=1 \\ & {{i}^{4m+1}}=i.{{i}^{4m}}=i.1=i \\ & {{i}^{4m+2}}=i.{{i}^{4m+1}}=i.i=-1 \\ & {{i}^{4m+3}}=i.{{i}^{4m+2}}=i.\left( -1 \right)=-i \\ \end{aligned} \)