Giải bài 26 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12

a) Dùng công thức lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực $\varphi$ , ta có

${{\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)}^{2}}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức $\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi .$ Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2.

b) Tìm các căn bậc hai của $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)$ bằng hai cách nói ở câu a)

Lời giải:

a) Ta có

$\begin{aligned} {{\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)}^{2}}&={{\cos }^{2}}\varphi +2i\sin \varphi .\cos \varphi -{{\sin }^{2}}\varphi \\ & =\cos 2\varphi +2i\sin 2\varphi \\ \end{aligned}$

Vậy số phức $\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$ có hai căn bậc hai là $\pm \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)$ .

Theo cách giải trong bài học để tính căn bậc hai của $\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$ ta quy về giải hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\cos 2\varphi \\ & 2xy=\sin 2\varphi \\ \end{aligned} \right.$

Trong đó $z=x+yi$ là các căn bậc hai cần tìm.

b) Ta có

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i=\cos \left( -\dfrac{\pi }{4} \right)+i\sin \left( -\dfrac{\pi }{4} \right)$

Theo câu a) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)$ có hai căn bậc hai là $\pm \left( \cos \left( -\dfrac{\pi }{8} \right)+i\sin \left( -\dfrac{\pi }{8} \right) \right)=\pm \left( \cos \dfrac{\pi }{8}-i\sin \dfrac{\pi }{8} \right)$ .

Mà $\cos \dfrac{\pi }{8}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \dfrac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$\sin\dfrac{\pi }{8}=\sqrt{\dfrac{1-\cos \dfrac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là $\pm \dfrac{1}{2}\left( \sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}} \right)$ .

Theo cách giải trong bài học:

Giả sử $z=x+yi$ là các căn bậc hai cần tìm. Khi đó

$\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & 2xy=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 8{{x}^{4}}-4\sqrt{2}{{x}^{2}}-1=0 \\ & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4x} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4} \\ & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4x} \end{aligned} \right.$

Suy ra các nghiệm của hệ phương trình là $\left( \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right),\left( -\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right)$ .

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ