Giải bài 24 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12

Giải các phương trình sau trên $\mathbb C$ (tức là tìm nghiệm phức của các phương trình đó) và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

a) ${{z}^{3}}+1=0;$ b) ${{z}^{4}}-1=0;$

c) ${{z}^{4}}+4=0;$ d) $8{{z}^{4}}+8{{z}^{3}}=z+1.$

Lời giải:

a) ${{z}^{3}}+1=0;$

$\Leftrightarrow \left( z+1 \right)\left( {{z}^{2}}-z+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=-1 \\ & {{z}^{2}}-z+1=0\,\left( 1 \right) \\ \end{aligned} \right.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{z}^{2}}-z+1=0\, \\ \Delta =1-4=-3=3i^2 \\ \Leftrightarrow z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

Vậy phương trình có ba nghiệm $S=\left\{-1;\dfrac{1+ i\sqrt{3}}{2} ;\dfrac{1- i\sqrt{3}}{2} \right\}$ .

Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:

b) ${{z}^{4}}-1=0;$

$\Leftrightarrow {{z}^{4}}=1 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}=1 \\ & {{z}^{2}}=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\pm 1 \\ & z=\pm i \\ \end{aligned} \right.$

Vậy phương trình có bốn nghiệm $S=\left\{-1;1;i;-i \right\}$ .

Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:

c) ${{z}^{4}}+4=0;$

$\Leftrightarrow {{z}^{4}}=-4=4i \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}=2i={{\left( 1+i \right)}^{2}} \\ & {{z}^{2}}=-2i={{\left( 1-i \right)}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\pm \left( 1+i \right) \\ & z=\pm \left( 1-i \right) \\ \end{aligned} \right.$

Vậy phương trình có bốn nghiệm $S=\left\{-1-i;1+i;1-i;-1+i \right\}$ .

Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:

d) $8{{z}^{4}}+8{{z}^{3}}=z+1.$

$\Leftrightarrow 8{{z}^{3}}\left( z+1 \right)-\left( z+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left( z+1 \right)\left( 8{{z}^{3}}-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=-1 \\ & 8{{z}^{3}}-1=0\,\left( * \right) \\ \end{aligned} \right.$

$\left( * \right)\Leftrightarrow \left( 2z-1 \right)\left( 4{{z}^{2}}+2z+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\dfrac{1}{2} \\ & 4{{z}^{2}}+2z+1=0\,\left( ** \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \left( ** \right)\Leftrightarrow 4{{z}^{2}}+2z+1=0 \\ \Delta '=1-4=-3 \\ \Rightarrow z=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{4}$

Vậy phương trình có bốn nghiệm $S=\left\{-1;\dfrac{1}{2} ;\dfrac{-1- i\sqrt{3}}{4};\dfrac{-1+ i\sqrt{3}}{4} \right\}$ .

Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ