Giải bài 20 trang 196 SGK giải tích nâng cao 12

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng

$4-i$ và tích của chúng bằng

$5(1-i)$ .
c) Có phải mọi phương trình bậc hai

$A{{z}^{2}}+Bz+C=0$ (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải:

Hướng dẫn:

a) Viết công thức nghiệm của phương trình $A{{z}^{2}}+Bz+C=0$ rồi tính ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}, {{z}_{1}}.{{z}_{2}}$ xem công thức Vi-ét có đúng không.

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng là hệ quả của định lí Vi-ét.

Giả sử ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=S, {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=P$ thì $z_1,z_2$ là nghiệm của phương trình ${z}^{2}-Sz+P=0$ .

Bài làm

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai $A{{z}^{2}}+Bz+C=0$ là

$z=\dfrac{-B\pm w}{2A}\,\left( {{w}^{2}}={{B}^{2}}-4AC \right)$

Do đó

${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{B}{A} \\ {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{\left( -B-w \right)\left( -B+w \right)}{4{{A}^{2}}}=\dfrac{{{B}^{2}}-{{w}^{2}}}{4{{A}^{2}}}=\dfrac{4AC}{4{{A}^{2}}}=\dfrac{C}{A}$

Vậy công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức.

b) Gọi hai số phức cần tìm là ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ .

Do $\left\{ \begin{aligned} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4-i \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=5\left( 1-i \right) \\ \end{aligned} \right.$ nên ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-\left( 4-i \right)z+5\left( 1-i \right)=0$ .

Ta có $\Delta ={{\left( 4-i \right)}^{2}}-20\left( 1-i \right) =-5+12i$

Giả sử $w=x+yi$ là căn bậc hai của $\Delta$ . Khi đó

${{\left( x+yi \right)}^{2}}=-5+12i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-5 \\ & 2xy=12 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-\dfrac{36}{{{x}^{2}}}=-5 \\ & y=\dfrac{6}{x} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-36=0 \\ & y=\dfrac{6}{x} \\ \end{aligned} \right. \\$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} & x=2 \\ & y=3 \\ \end{aligned} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{aligned} & x=-2 \\ & y=-3 \\ \end{aligned} \right.$

Vậy $\Delta$ có hai căn bậc hai là $\pm \left( 2+3i \right)$

Hai số phức cần tìm là

${{z}_{1}}=\dfrac{1}{2}\left( 4-i+2+3i \right)=3+i \\ {{z}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 4-i-2-3i \right)=1-2i$

c) Giả sử phương trình ${{z}^{2}}+Bz+C=0$ có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$ thì theo công thức Vi-ét ta có

$B=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-\left( {{z}_{1}}+\overline{{{z}_{1}}} \right)$ là số thực và $C={{z}_{1}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}$ là số thực.

Ngược lại, nếu B, C là các số thực thì khi $\Delta=B^2-4AC>0$ ta có hai nghiệm thực phân biệt.

Do đó chúng không phải là liên hợp của nhau.

Vậy điều ngược lại là không đúng.

Khẳng định đúng nếu $\Delta \le 0$ .

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ