Giải bài 17 trang 195 SGK giải tích nâng cao 12

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: $-i;4i;-4;1+4\sqrt{3}i.$

Lời giải:

Gợi ý: Số phức ${w}=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là căn bậc hai của số phức $z\Leftrightarrow {w}^{2}=z$ .

Ta có ${w}^{2}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$

a) $z=-i$

${w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=-1\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2b}$ thay vào (1) ta được:

$\dfrac{1}{4{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{4}}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow b=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Với $b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Với $b=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i,{{w}_{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i$ .

b) $z=4i$

${w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=4\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow a=\dfrac{2}{b}$ thay vào (1) ta được:

$\dfrac{4}{{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{4}}=4\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{2}$

Với $b=\sqrt{2}\Rightarrow a=\sqrt{2}$

Với $b=-\sqrt{2}\Rightarrow a=-\sqrt{2}$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,{{w}_{2}}=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$ .

c) $z=-4=4i^2$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=2i,{{w}_{2}}=-{2}i$ .

d) $z=1+4\sqrt{3}i$

${w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=4\sqrt{3}\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow a=\dfrac{2\sqrt{3}}{b}$ thay vào (1) ta được:

$\dfrac{12}{{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow {{b}^{4}}+{{b}^{2}}-12=0\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{3}$

Với $b=\sqrt{3}\Rightarrow a=2$

Với $b=-\sqrt{3}\Rightarrow a=-2$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=2+\sqrt{3}i,{{w}_{2}}=-2-\sqrt{3}i$ .

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ